Násobení

Zobrazit kapitoly článku
  1. Násobení
  2. Násobení na papíře
  3. Násobení záporných čísel

Násobení je základní početní operace, se kterou se běžně setkáváme.

Co je to násobení #

Operaci násobení značíme buď pomocí středové tečky nebo pomocí křížku. Pokud bychom chtěl napsat tři krát sedm, napsali bychom to jako 3 · 7 nebo \(3 \times 7\). Občas se místo toho znaku pro křížek používá obyčejné písmeno x (iks): 3 x 7.

Násobení přirozených čísel, tj. čísel 1, 2, 3, …, můžeme jednoduše převést na sčítání. Vezměme si pro příklad 4 · 6 = ?, čtyři krát šest. Do běžné řeči bychom to mohli převést tak, že bychom řekli „běž čtyřikrát za Frantou a po každé mu dej šest facek“. Jaký bude celkový počet facek? Poprvé mu dáme šest facek, podruhé taky, potřetí taky a počtvrté taky. Celkem jsme mu dali 6 + 6 + 6 + 6 = 24 facek. Abychom nemuseli vždy vypisovat tolik stejných čísel k sečtení, zavedlo se právě násobení, takže když chceme sečíst čtyři šestky, tak místo 6 + 6 + 6 + 6 můžeme napsat jen \(4 \times 6\).

Všimněte si, že je jedno, jestli sečteme čtyři šestky, nebo šest čtyřek. Dostaneme vždy stejný výsledek.

\[4 \cdot 6 = 6 + 6 + 6 + 6 = 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 24\]

Výsledku násobení říkáme součin, takže říkáme „součin čísel 4 a 6 je 24“, případně „součin čísel 4 krát 6 je 24“. Čísla, která násobíme, v tomto případě čísla 4 a 6, se nazývají činitelé.

Grafické vyjádření násobení #

Graficky můžeme násobení vyjádřit jako obsah obdélníku. Zůstaneme u příkladu 4 · 6. Vytvoříme obdélník, který má jednu stranu o délce 4 a druhou stranu o délce 6. Obdélník bude vypadat takto:

Obdélník o délkách stran 4 a 6Obdélník o délkách stran 4 a 6

Nyní spočítáme obsah tohoto obdélníku, což znamená, že spočítáme všechny čtverečky, které se uvnitř něj nachází.

Očíslované čtverečkyOčíslované čtverečky

Vidíme, že čtverečků je právě 24. Proč? Protože jsme na sebe čtyřikrát naskládali šest čtverečků, výsledek je tak opět součet 6 + 6 + 6 + 6 = 24.

Násobení nulou #

Pokud jakékoliv číslo vynásobíme nulou, výsledkem bude opět nula. Zdůvodnění je jednoduché: pokud se budeme držet předchozích příkladů, tak je to jako bychom řekli „nejdi ani jednou za Frantou a dej mu šest facek“. Franta bude tentokrát v pohodě, protože sice má dostat šest facek, jenže je nemá dostat ani jednou.

Lze to ukázat i graficky. Obrázek znázorňující součin 5 · 0 by vypadal takto:

Násobení nulouNásobení nulou

Protože druhý činitel má hodnotu nula, má i jedna strana obdélníku délku nula, čímž se z obdélníku stává úsečka, která nemá žádný obsah.

Priorita násobení #

Násobení má přednost před sčítáním a odečítáním. To znamená, že když máte příklad 2 + 3 · 4, tak nejdříve vypočítáte součin 3 · 4 = 12 a až poté počítáte součet. Takže po vypočtení součinu máme 2 + 12 a to je rovno 14.

Pokud byste počítali nejdříve součet, dostali byste jiný výsledek: 2 + 3 = 5 a poté 5 · 4 = 20. Tento výsledek je špatný.

Totéž s odečítáním, takže 10 − 8 · 2 + 7 by se počítalo jako kdyby tam byly závorky: 10 − (8 · 2) + 7. Tedy: 10 − 16 + 7 = 1.

Pozor na chytáky, které se často objevují na Facebooku. Objevují se tam příklady typu 1 + 1 + 1 · 0 = ?. Spousta lidí vidí násobení nulou a hned píše, že výsledek je nula, ale to je špatný výsledek. Protože má násobení přednost, tak je ten příklad ekvivalentní příkladu 1 + 1 + (1 · 0) = ?.

Zde nejprve vynásobíme závorku: 1 + 1 + 0 = ? a teď to sečteme: 1 + 1 + 0 = 2. Správný výsledek je 2, ne 0.

Nejzrádnější je, že pokud máte nějakou jednodušší kalkulačku, tak ta taky vyplivne výsledek nula. Proč? Protože v jednoduchých kalkulačkách nezadáváte celý výraz, zadáváte ho postupně a kalkulačka pracuje s mezivýsledkem. Pokud do takové kalkulačky naťukáte 1 + 1 + 1 · 0, tak kalkulačka vám nejdřív spočítá 1 + 1 = 2, pak vám spočítá 2 + 1 = 3, protože si pamatuje jen mezivýsledek 2 a nakonec spočítá 3 · 0 = 0. Kalkulačka tak ve skutečnosti spočítala příklad (((1 + 1) + 1) · 0).

Některé kalkulačky se s prioritou umí vypořádat, některé umožňují zadat celý příklad vkuse a pak ho vypočítají správně. Pokud to zrovna ta vaše neumí, tak na to pamatujte.

Malá násobilka #

Pro další počítání se hodí zapamatovat si celou malou násobilku, tedy všechny násobky čísel menších než 11:

Nejprve malá násobilka od jedné do pěti:

\[\begin{array}{lllll}1 \cdot 1 = 1&2 \cdot 1 = 2&3 \cdot 1 = 3&4 \cdot 1 = 4&5 \cdot 1 = 5 \\1 \cdot 2 = 2&2 \cdot 2 = 4&3 \cdot 2 = 6&4 \cdot 2 = 8&5 \cdot 2 = 10 \\1 \cdot 3 = 3&2 \cdot 3 = 6&3 \cdot 3 = 9&4 \cdot 3 = 12&5 \cdot 3 = 15 \\1 \cdot 4 = 4&2 \cdot 4 = 8&3 \cdot 4 = 12&4 \cdot 4 = 16&5 \cdot 4 = 20 \\1 \cdot 5 = 5&2 \cdot 5 = 10&3 \cdot 5 = 15&4 \cdot 5 = 20&5 \cdot 5 = 25 \\1 \cdot 6 = 6&2 \cdot 6 = 12&3 \cdot 6 = 18&4 \cdot 6 = 24&5 \cdot 6 = 30 \\1 \cdot 7 = 7&2 \cdot 7 = 14&3 \cdot 7 = 21&4 \cdot 7 = 28&5 \cdot 7 = 35 \\1 \cdot 8 = 8&2 \cdot 8 = 16&3 \cdot 8 = 24&4 \cdot 8 = 32&5 \cdot 8 = 40 \\1 \cdot 9 = 9&2 \cdot 9 = 18&3 \cdot 9 = 27&4 \cdot 9 = 36&5 \cdot 9 = 45 \\1 \cdot 10 = 10&2 \cdot 10 = 20&3 \cdot 10 = 30&4 \cdot 10 = 40&5 \cdot 10 = 50 \\\end{array}\]

A teď od šesti do desíti:

\[\begin{array}{lllll}6 \cdot 1 = 6&7 \cdot 1 = 7&8 \cdot 1 = 8&9 \cdot 1 = 9&10 \cdot 1 = 10 \\6 \cdot 2 = 12&7 \cdot 2 = 14&8 \cdot 2 = 16&9 \cdot 2 = 18&10 \cdot 2 = 20 \\6 \cdot 3 = 18&7 \cdot 3 = 21&8 \cdot 3 = 24&9 \cdot 3 = 27&10 \cdot 3 = 30 \\6 \cdot 4 = 24&7 \cdot 4 = 28&8 \cdot 4 = 32&9 \cdot 4 = 36&10 \cdot 4 = 40 \\6 \cdot 5 = 30&7 \cdot 5 = 35&8 \cdot 5 = 40&9 \cdot 5 = 45&10 \cdot 5 = 50 \\6 \cdot 6 = 36&7 \cdot 6 = 42&8 \cdot 6 = 48&9 \cdot 6 = 54&10 \cdot 6 = 60 \\6 \cdot 7 = 42&7 \cdot 7 = 49&8 \cdot 7 = 56&9 \cdot 7 = 63&10 \cdot 7 = 70 \\6 \cdot 8 = 48&7 \cdot 8 = 56&8 \cdot 8 = 64&9 \cdot 8 = 72&10 \cdot 8 = 80 \\6 \cdot 9 = 54&7 \cdot 9 = 63&8 \cdot 9 = 72&9 \cdot 9 = 81&10 \cdot 9 = 90 \\6 \cdot 10 = 60&7 \cdot 10 = 70&8 \cdot 10 = 80&9 \cdot 10 = 90&10 \cdot 10 = 100 \\\end{array}\]