Vytýkání

Ještě předtím, než se pustíme do vytýkání, si probereme roznásobování závorek, protože to s vytýkáním samotným velice souvisí. Dalo by se dokonce říci, že vytýkání je zcela opačná funkce k roznásobování závorek.

Roznásobování závorky #

Roznásobování závorky je jednoduchá operace, který si ukážeme na příkladu: vypočítejme výraz 3 · (5 + 8). Máme dva způsoby, jak postupovat. Můžeme výraz v zárovce sečíst a dostaneme 3 · 13, protože 5 + 8 = 13.

Druhý způsob je, že závorku roznásobíme. To znamená, že vezmeme číslo před závorkou, trojku, a tímto číslem vynásobíme obě čísla v závorce. Znaménko plus v závorce zůstane. Dostaneme tak:

\[3 \cdot (5 + 8) = (3 \cdot 5 + 3 \cdot 8)\]

Oba postupy vedou ke stejnému výsledku: (3 · 5 + 3 · 8) = 15 + 24 = 39.

Proč roznásobení závorky funguje #

Proč si můžeme tento postup dovolit, proč roznásobování funguje? Představme si součin jako rozepsaný součet. Pokud například napíšeme 3 · 7, říkáme tím, že chceme třikrát sečíst číslo sedm, tj. 3 · 7 = 7 + 7 + 7.

Stejně tak můžeme ale rozepsat příklad se závorkou: 3 · (5 + 8) je totéž jako (5 + 8) + (5 + 8) + (5 + 8). Protože u sčítání nezáleží na pořadí, můžeme odstranit závorky a přesunou pětky a osmičky vedle sebe takto: 5 + 5 + 5 + 8 + 8 + 8. A tady už vidíme, že tento výraz můžeme přepsat pomocí násobení takto: 3 · 5 + 3 · 8, což je to, co jsme provedli u roznásobení.

Příklady na roznásobování #

  1. Roznásobte 5 · (4 + 7). Opět jen čísla v závorce vynásobíme pětkou a získáme 5 · (4 + 7) = 5 · 4 + 5 · 7.
  2. Roznásobte 6 · (x + 4). Neznáme se nelekejme a zkrátka ji taky jen vynásobme šestkou. Dostáváme: 6 · (x + 4) = 6x + 6 · 4.
  3. Roznásobte x · (4 + 173). Teď máme neznámou před závorkou, takže obě čísla uvnitř závorky vynásobíme x. Získáme x · (4 + 173) = 4x + 173x.
  4. Roznásobte: 4x · (2x + 7). Teď máme neznámou ped závorkou i v ní, ale zároveň máme před závorkou složitější výraz. To opět nevadí, obsah závorky vynásobíme 2x takto: 4x · (2x + 7) = 4x · 2x + 4x · 7 = 8x2 + 28x.

Jednoduché vytýkání #

Vytýkání je opačný postup oproti roznásobení závorky. Na začátku máme například výraz 10x + 5. Pokud nyní nalezneme nějaké číslo, kterým můžeme oba sčítance nějak rozumně podělit, můžeme toto číslo tak zvaně vytknout. V našem výrazu to bude číslo 5, protože 10x / 5 = 2x a 5 / 5 = 1. Můžeme tak napsat, že

\[10x + 5 = 5 \cdot (2x + 1).\]

Když zpětně roznásobíme závorku 5 · (2x + 1), dostaneme zase 10x + 5. Cílem vytýkání je obyčejně daný výraz zjednodušit nebo ho dostat do tvaru součinu, abychom mohli jednu sečíst zkrátit ve zlomku.

Vytýkání neznámé #

Často se vytýká samotná neznámá, nemusíme vytýkat pouze číslo. Takže pokud máme výraz 3x2 + 7x, můžeme z něj vytknout x, tj. oba výrazy vydělíme x, přidáme závorky a závorku vynásobíme x. Dostaneme 3x2 + 7x = x · (3x + 7).

Obvykle se snažíme vytknout co „nejvíce“ věcí, takže pokud bychom měli výraz 8x2 + 12x, můžeme vytknout pouze x a dostat 8x2 + 12x = x · (8x + 12), ale vidíme, že bychom ze závorky mohli vytknout ještě číslo 4. Můžeme tak udělat teď, dodatečně a získáme: x · (4 · (2x + 3)). Ty vnější závorky můžeme odstranit a získáme: 4x · (2x + 3).

Ke stejnému výsledku bychom se ale dostali, kdybychom z původního výrazu 8x2 + 12x vytkli přímo výraz 4x. Pokud bychom to rozepsali, získali bychom

\[8x^2 + 12x = 4x \cdot (8x^2 / 4x + 12x / 4x) = 4x \cdot (2x + 3).\]

Vytýkání složitějších výrazů #

Zatím jsme vytýkali pouze z výrazů, které obsahují dva sčítance. My ale můžeme vytýkat i z delších výrazů. Například z 7x3 + 5x2 + 2x můžeme vytknout x a získáme x · (7x2 + 5x + 2).

Nemusíme také vždy vytýkat pouze nějaké hezké číslo, můžeme vytknout cokolic. Například z výrazu 6x + 7 můžeme vytknout číslo 2, získáme ale nehezký výsledek, protože oba výrazy musíme podělit dvěma. U 6x nám to vyjde v pohodě, protože 6x / 2 = 3x, ale u čísla 7 už nám to moc hezky nevyjde: 7 / 2 = 3, 5. Dostaneme tak výsledný výraz: 6x + 7 = 2 · (3x + 3, 5).

Řešené příklady #

  • Nějak hezky vytkněte 25x + 45. Na první pohled je vidět, že můžeme vytknout číslo 5, takže dostáváme 5 · (5x + 9).
  • Zjednodušte zlomek

    \[ \frac{3x^2+7x}{x}. \]

    Jako první v čitateli zlomku vytkneme x. Dostaneme tak v čitateli x · (3x + 7). Nyní můžeme v celém zlomku zkrátit x.

    \[ \frac{3x^2+7x}{x} = \frac{x \cdot (3x + 7)}{x} = 3x + 7 \]
  • Nějak hezky vytkněte −2x2 − 8x. Tady máme poprvé záporná čísla. To vůbec nevadí, stejně jako jsme vytýkali kladná čísla, tak můžeme vytýkat záporná. Můžeme tak hned najednou vytknout −2x. Dostaneme

    \[ -2x^2-8x = -2x (x + 4). \]