PRUMYSL.CZ KONSTRUKTER.CZ 3D-TISK.CZ MATEMATIKA.CZ NOVAMEDIA.CZ

Vyjádření proměnné

Jak vyjádřit ze složitějšího vztahu nebo zlomku jednu konkrétní proměnnou. Tato technika se používá obzvláště při práci s různými vzorečky, ve kterých se vyskytuje více proměnných. Ještě v kombinaci s jinými vzorečky můžeme dosáhnout nevídaných výkonů, kdy odvodíme z ničeho vše.

Jednoduché lineární výrazy #

Mějme tento vzoreček: ax + b = c. Jak z tohoto imaginárního vzorečku osamostatníme x? Začínáme vždy tak, že všechny výrazy s proměnnou, kterou osamostatňujeme, dáme na levou stranu a zbytek na pravou. Teoreticky je jedno, na které straně co bude, ale zvyklost je mít neznámou, kterou vyjadřujeme, vlevo. Takže nejprve přesuneme b na pravou stranu, tedy k rovnici přičteme b:

\begin{eqnarray} ax + b &=& c \quad /-b\\ ax &=& c -b \end{eqnarray}

Výrazy s proměnnou máme na jedné straně, ale ještě nám tam vadí to a. Jak se toho elegantně zbavit? Co musíme udělat s výrazem ax, abychom dostali pouze x? Ano, výraz – a tím pádem i celou rovnici – vydělíme a, neboli vynásobíme \(\frac{1}{a}\). Hodnota a přitom musí být různá od nuly (nemůžeme dělit nulou). Pokud tak uděláme, dostaneme:

\begin{eqnarray} ax &=& c -b\quad\cdot\frac{1}{a}\quad(a\ne0)\\ x &=& \frac{c-b}{a} \end{eqnarray}

Hotovo. Další příklad:

\[2ax − 3bx = 10a\]

Opět máme osamostatnit x. Výrazy s neznámou již na levé straně máme, takže máme trochu ušetřenou práci. Komplikací ale je, že tam máme dva výrazy s neznámou. Situaci vyřešíme vytýkáním. Z levé strany rovnice vytkneme x a dostaneme:

\begin{eqnarray} 2ax − 3bx &=& 10a\\ x(2a − 3b) &=& 10a \end{eqnarray}

Když jsme v předchozím příkladě měli výraz ax a chtěli jsme získat jen x, celou rovnici jsme vynásobili \(\frac{1}{a}\). Nyní máme v rovnici výraz x(2a − 3b) a opět chceme znát x. Provedeme totéž, vydělíme celou rovnici výrazem (2a − 3b). Ničeho se nebojte, rovnici opravdu můžeme vydělit celou zárovkou, jen musí platit 2a − 3b ≠ 0.

\begin{eqnarray} x(2a − 3b) &=& 10a\quad /\cdot \frac{1}{2a − 3b}\\ x &=& \frac{10a}{2a-3b} \end{eqnarray}

Zlomky #

Pokud máme výraz se zlomky, používáme stejné úpravy rovnic, jen musíme dát pozor na to, abychom náhodou nedělili nebo nenásobili nulou. Příklad:

\[\frac{a}{x}=\frac{b}{c}\]

Chceme osamostatnit x. Celou rovnici vynásobíme x – jen musíme dodat předpoklad, že x ≠ 0. To tak jako tak platí, protože v rovnici je zlomek \(\frac{a}{x}\) a x je ve jmenovateli – dělit nulou přitom nemůžeme. Dostaname tak rovnici:

\begin{eqnarray} \frac{a}{x}&=&\frac{b}{c}\quad/\cdot x\quad(x\ne0)\\ a &=& \frac{bx}{c}\quad/\cdot c\quad(c\ne0)\\ ac&=&bx\quad\cdot\frac{1}{b}\quad(b\ne0)\\ \frac{ac}{b}&=&x\\ x&=&\frac{ac}{b} \end{eqnarray}

Při osamostatňování neznámé zkrátka používejte běžné ekvivalentní úpravy rovnic.


Tento web používá k poskytování služeb, personalizaci reklam a analýze návštěvnosti soubory cookie. Používáním tohoto webu s tím souhlasíte. Další informace