Sčítání, odečítání, násobení a dělení zlomků

Zlomkem můžeme zapsat jakékoliv racionální číslo. Zlomek se skládá ze dvou částí. Horní část se nazývá čitatel a spodní jmenovatel. Existuje i složený zlomek, což není nic jiného, než zlomek, který má v čitateli či jmenovateli další zlomek. A mimochodem všechny znaménka mezi zlomky (plus, minus, rovná se apod.) se píší zásadně na úrovni zlomkové čáry, ne na úroveň čitatele ani na úroveň jmenovatele.

Základní informace #

Zlomek má následující tvar:

\[\frac{\mbox{čitatel}}{\mbox{jmenovatel}}\]

Příkladem zlomku může být například zlomek

\[\frac25,\]

tedy dvě pětiny. Jmenovateli se říká jmenovatel proto, že pojmenovává zlomek. Pětina, třetina, šestina… to je hlavní název zlomku a je odvozené od čísla, které se nachází pod zlomkovou čárou. Čitatel naopak určuje počet, v předchozím příkladu to byly dvě pětiny. Tolik k názvům.

V čitateli i jmenovateli může v podstatě být jakékoliv číslo nebo opět zlomek, nejčastěji se ale setkáváme se zlomkem, kde čitatel i jmenovatel je přirozeným číslem.

Zlomek je jen jinak zapsané dělení, hodnotu zlomku vypočítáme tak, že vydělíme čitatel jmenovatelem. Takže obecně pokud máme zlomek \(\frac{a}{b}\), pak hodnotou zlomku je číslo a/b. Předchozí zlomek (dvě pětiny) by pak měl hodnotu 2/5, což je 0, 4.

Převod na základní tvar #

Se zlomky můžeme různě pracovat a měnit jejich tvar – rozšiřovat je a krátit –, přičemž hodnota zlomku se nijak nezmění. Lze si to i snadno představit slovně, například jedna polovina má stejnou hodnotu jako dvě čtvrtiny nebo čtyři osminy. Vychází to z toho, že zlomek je jen převlečené dělení. A k číslu jedna polovina se můžeme dostat podělením několika různých čísel. Takže čtyři děleno osmi je jedna polovina. Deset děleno dvaceti je taky jedna polovina. Proto zlomky

\[\frac12=\frac24=\frac36=\frac48=\ldots=\frac{10}{20}=\ldots\]

mají stejnou hodnotu.

Jak je vidět, k dalším zlomkům se stejnou hodnotou jsme přišli tak, že jsme v původním zlomku 1/2 vynásobili dvojkou jak čitatel, tak jmenovatel. Po vynásobení vyšel zlomek 2/4, dvě čtvrtiny. Pokud i u tohoto zlomku vynásobíme čitatel a jmenovatel dvojkou, získáme zlomek 4/8, čtyři osminy. V tuto chvíli jsme zlomek rozšiřovali.

Opačnou operací k rozšiřování je krácení zlomků, kdy čitatel i jmenovatel dělíme stejným číslem. Pokud bychom chtěli zlomek krátit, musíme najít číslo, kterým je beze zbytku dělitelný jak čitatel, tak i jmenovatel. Krácení zlomků se v praxi velice často využívá, protože krácením se zlomek značně zjednodušuje a lépe se s ním pracuje. Pokud bychom měli zlomek 12/18, letmým pohledem zjistíme, že obě čísla jsou sudá, tudíž dělitelná dvojkou. Samozřejmě bychom mohli zlomek zkrátit dvojkou, ale již druhým pohledem lze zjistit, že čitatel i jmenovatel je dělitelný také šestkou. Pokud pokrátíme zlomek šestkou, vznikne jednodušší zlomek, než kdybychom krátili pouze dvojkou. Proto zlomek zkrátíme šestkou. Vychází zlomek 2/3.

Tento zlomek již nelze dále krátit, neexistuje číslo, kterým bychom mohli beze zbytku vydělit jak čitatel, tak i jmenovatel. O zlomku, který již nelze dále krátit, říkáme, že je v základním tvaru. Snažte se vždy pracovat se zlomky v základním tvaru, pokud budete někde pracovat se zlomky, podívejte se nejprve, zda nejdou některé zlomky pokrátit. Ušetříte si čas. Ještě jeden příklad:

\[\frac{24}{42}\]

Jakým číslem je dělitelná 24 a 42 zároveň? Jsou to obě sudá čísla, takže určitě dvojkou. Vydělíme čitatel i jmenovatel dvojkou:

\[\frac{24}{42}=\frac{12}{21}\]

Existuje nějaké číslo, které dělí obě čísla zároveň? Ano, tentokrát trojka.

\[\frac{12}{21}=\frac{4}{7}\]

Existuje pořád nějaké číslo, které dělí čitatel i jmenovatel? Neexistuje, zlomek je v základním tvaru.

Násobení zlomků #

Budete se možná divit, ale násobení a dělení je u zlomků jednodušší než sčítání a odčítání. Pokud máte vynásobit dva zlomky, vynásobíte prostě čitatel prvního zlomku s čitatelem druhého zlomku a jmenovatel s jmenovatelem. To je všechno. Příklad násobení zlomků:

\[\frac23\cdot\frac57=\frac{2\cdot5}{3\cdot7}=\frac{10}{21}\]

Při násobení zlomků existuje navíc další způsob krácení zlomků. Nemusíte krátit pouze v rámci jednoho zlomku, ale můžete krátit křížem. Pokud lze zkrátit čitatel prvního zlomku s jmenovatelem druhého zlomku, můžete to udělat a zjednodušit si násobení. Příklad (krácené čísla jsou zvýrazněna):

\[\frac{\fbox{4}}{5}\cdot\frac{3}{\fbox{8}}=\frac15\cdot\frac32=\frac{3}{10}\]

Co jsme udělali? Čtyřku i osmičku jsme vydělili čtyřkou. Hodnota součinu zůstala nezměněna. Pokud bychom to nezkrátili teď, mohli bychom to zkrátit až po vynásobení.

Násobení zlomku celým čísel pak jednoduše převedete na násobení dvou zlomků tak, že celé číslo c zapíšete jako c/1:

\[\frac{3}{7}\cdot5=\frac37\cdot\frac51=\frac{3\cdot5}{7\cdot1}=\frac{15}{7}\]

Jak je vidět, pokud zlomek násobíte celým číslem, pak stačí tímto číslem vynásobit čitatele zlomku.

\[c\cdot\frac{a}{b}=\frac{ac}{b}\]

Dělení zlomků #

Dělení zlomků je prakticky stejné jako násobení. Pokud chcete jeden zlomek vydělit druhým, jeden ze zlomků obrátíte a zlomky normálně vynásobíte. Jednoduchý příklad dělení zlomků (všimněte si, že po obrácení zlomku můžeme pokrátit 12 a 6):

\[\frac{12}{7}\,:\,\frac{6}{11}=\frac{12}{7}\cdot\frac{11}{6}=\frac{2}{7}\cdot\frac{11}{1}=\frac{22}{7}\]

Dělení jsme převedli na násobení tak, že jsme zlomek \(\frac{6}{11}\) otočili na zlomek \(\frac{11}{6}\) a vynásobili s druhým nezměněným zlomkem. Proč to tak funguje? Stačí si to představit na nějakém jednodušším příkladu, například dělení jednou polovinou. Pokud dělíme

\[\frac{10}{1/2}=?,\]

co vlastně provádíme? Zjišťujeme, kolikrát se jedna polovina vejde de desíti. Do každé jednotky se polovina vejde právě dvakrát (dva krát jedna polovina je jedna), takže do desíti se vejde dvacetkrát. Ke stejnému výsledku dojdeme, když vynásobíme dva krát deset – taky dvacet. A jakou hodnotu dostaneme, když otočíme jednu polovinu? Dvě jedniny, což je dva.

\[\frac12\rightarrow\frac21=2\]

Ve výsledku tak máme:

\[\frac{10}{1/2}=10\cdot\frac21=10\cdot2=20.\]

Sčítání zlomků #

Sčítání zlomků už bývá mírně komplikovanější. Zlomky totiž můžeme sčítat pouze v případě, že ony zlomky mají stejný základ, tedy stejného jmenovatele. Pokud zlomky nemají stejného jmenovatele, musíme je na stejného jmenovatele převést. Poté postupujeme jednoduše jako v případě násobení, prostě sečteme čitatel prvního zlomku s čitatelem druhého zlomku. Oproti násobení ale ponecháváme stejný jmenovatel. Nejprve příklad na sčítání zlomků se stejným základem:

\[\frac12+\frac52=\frac62=3\]

Dává to smysl? Jedna polovina plus pět polovin se rovná šesti polovinám – to má docela smysl.

Pokud zlomky nemají stejný základ, což bývá častější případ, musíme zlomky na stejný základ převést, což znamená rozšířit jeden či oba zlomky tak, abychom dostali stejný jmenovatel. Chtějme sečíst tyto dva zlomky:

\[\frac23+\frac52=?\]

První zlomek má ve jmenovateli trojku, druhý zlomek dvojku. V tuto chvíli je jen těžko sečteme, ale pokud první zlomek rozšíříme dvojkou, bude mít ve jmenovateli šestku a pokud druhý zlomek rozšíříme trojkou, bude mít ve jmenovateli také šestku. Nyní mají již oba zlomky stejný základ a můžeme je jednoduše sečíst. Takže v prvním kroku rozšíříme zlomky tak, ať mají stejný jmenovatel:

\[\frac23+\frac52=\frac{2\cdot2}{3\cdot2}+\frac{5\cdot3}{2\cdot3}=\frac{4}{6}+\frac{15}{6}\]

A teď už jen sečteme čitatele a jmenovatele necháme stejného:

\[\frac{4}{6}+\frac{15}{6}=\frac{19}{6}\]

Pozor na to, že při sčítání nemůžeme krátit napříč zlomky jako u násobení. Například po úpravě jsme měli v jmenovateli prvního zlomku šestku a v čitateli druhého zlomku patnáctku. Přesto nemůžeme krátit třemi:

\[\frac{4}{\fbox{6}}+\frac{\fbox{15}}{6}\ne\frac42+\frac56\]

Toto krácení bychom si mohli dovolit, jen pokud bychom ty zlomky násobili:

\[\frac{4}{\fbox{6}}\cdot\frac{\fbox{15}}{6}=\frac42\cdot\frac56\]

Jak obecně převést dva zlomky na společného jmenovatele? První zlomek rozšíříme jmenovatelem druhého zlomku a druhý zlomek rozšíříme jmenovatelem prvního zlomku. Obecně to můžeme zapsat takto:

\[\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{ad}{bd}+\frac{bc}{bd}\]

První zlomek jsme rozšířili výrazem d, což je jmenovatel druhého zlomku. Druhý zlomek jsme rozšířili výrazem b, což je jmenovatel prvního zlomku. Konkrétní příklad:

\[\frac74+\frac98=\frac{7\cdot8}{4\cdot8}+\frac{9\cdot4}{8\cdot4}\]

První zlomek jsme rozšířili osmičkou, druhý zlome čtyřkou. Po tomto provedení už můžeme zlomky sečíst.

Obecný vzorec pro sčítání zlomků by pak vypadal takto:

\[\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{ad+bc}{bd}\]

Odečítání zlomků #

Odečítání zlomků probíhá úplně stejně jako sčítání zlomků, pouze výsledné čitatele nesčítáme, ale odečítáme. Takže předchozí obecný vzorec sčítání upravíme takto:

\[\frac{a}{b}-\frac{c}{d}=\frac{ad-bc}{bd}\]

Konkrétní příklad; jako první převedeme na společného jmenovatele:

\[\frac79-\frac25=\frac{7\cdot5}{9\cdot5}-\frac{2\cdot9}{5\cdot9}=\frac{35}{45}-\frac{18}{45}\]

A teď už jen odečteme čitatele, jmenovatele necháme stejné:

\[\frac{35}{45}-\frac{18}{45}=\frac{35-18}{45}=\frac{17}{45}\]

Křížové pravidlo #

V případě rovnic můžeme použít křížové pravidlo, které zjednodušuje rovnost dvou zlomků. Prakticky se nejedná o nic jiného než o dvě ekvivalentní úpravy dané rovnice. Takže mějme rovnici o dvou zlomcích

\[\frac{a}{b}=\frac{c}{d}.\]

Tuto rovnici můžeme upravit tak, že ji vynásobíme jmenovatelem prvního a pak i druhého zlomku. Nejprve vynásobíme rovnici jmenovatelem prvního zlomku, tedy výrazem b. Dostaneme

\[\frac{ab}{b}=\frac{bc}{d}.\]

Pak rovnici vynásobíme výrazem d a dostaneme

\[\frac{abd}{b}=\frac{bcd}{d}.\]

V prvním zlomku pokrátíme b a ve druhém d. Výsledkem je rovnice

\[ad=bc.\]

Toto tak můžeme považovat za vzorec, máme-li rovnici ve tvaru dvou zlomků, můžeme je upravit následovně:

\[\begin{eqnarray}\frac{a}{b}&=&\frac{c}{d}\rightarrow\\ad&=&bc\end{eqnarray}\]

Příklad následuje. V prvním kroku rozepíšeme zlomky podle předchozího vzorce a v druhém kroku už jen lehce upravíme výrazy na obou stranách.

\[\begin{eqnarray}\frac{x+2}{x}&=&\frac{3x}{x+2}\\(x+2)(x+2)&=&x\cdot3x\\(x+2)^2&=&3x^2\end{eqnarray}\]

Dále by se rovnice dopočítala jako klasická kvadratická rovnice, ale to už je mimo obor tohoto článku.

Související témata #

Zlomky bývají častou úlohou při zjednodušování výrazů, zabývá se tím článek lomené výrazy případně a speciálně pak existuje algoritmus pro dělení mnohočlenů mnohočlenem.