PRUMYSL.CZ KONSTRUKTER.CZ 3D-TISK.CZ MATEMATIKA.CZ NOVAMEDIA.CZ

Operace s vektory

Zobrazit kapitoly článku
  1. Vektory
  2. Operace s vektory
  3. Skalární součin
  4. Vektorový součin

S vektory můžeme provádět základní operace jako je sčítání nebo násobení.

Sčítání vektorů #

Chceme-li sečíst dva vektory, zobrazíme je do počátku souřadnicového systému a následně doplníme na kosodélník a uhlopříčka začínající v počátku bude výsledný vektor. Samozřejmě je připraven ilustrativní obrázek:

Součet dvou vektorů u+vSoučet dvou vektorů u + v

Analyticky je pak součet vektorů součet příslušných souřadnic. Takže pokud máte dva vektory \(\vec{\mathbf{u}}=(u_1, u_2)\) a \(\vec{\mathbf{v}}=(v_1, v_2)\), pak součet \(\vec{\mathbf{u}}+\vec{\mathbf{v}}\) je roven

\[\vec{\mathbf{u}}+\vec{\mathbf{v}}=(u_1+v_1, u_2+v_2)\]

Pro ty vektory na obrázku platí: \(\vec{\mathbf{u}}=(2, 4)\) a \(\vec{\mathbf{v}}=(4, 1)\). Součet pak vypadá takto: \(\vec{\mathbf{u}}+\vec{\mathbf{v}}=(2+4, 4+1)=(6, 5)\). Tyto souřadnice odpovídají bodu D.

Pokud odečítáte vektory, je to stejné, jako byste přičítali opačný vektor. Analyticky:

\[\vec{\mathbf{u}}-\vec{\mathbf{v}}=(u_1-v_1, u_2-v_2)\]

Pokud sčítáme vektory, které leží na jedné přímce a ve stejném směru, pak jen natáhneme výsledný vektor. Pokud mají opačný směr, pak odečteme jejich velikost. Z obrázku to bude lépe vidět:

Součet vektorů ležící na stejné přímceSoučet vektorů ležící na stejné přímce

Sčítání vektorů je komutativní a asociativní. Existuje vektor \(\vec{\mathbf{0}}\), který nazýváme nulový vektor, pro který platí \(\vec{\mathbf{u}}+\vec{\mathbf{0}}=\vec{\mathbf{u}}\), podobně jako u čísel. Ke každému vektoru \(\vec{\mathbf{u}}\) existuje opačný vektor \(-\vec{\mathbf{u}}\), pro který platí \(\vec{\mathbf{u}}+(-\vec{\mathbf{u}})=\vec{\mathbf{0}}\).

Násobení vektoru číslem #

Pokud vynásobíte vektor reálným číslem k, pak jen vynásobíte číslem k obě jeho souřadnice. V geometrické interpretaci se to projeví „natažením“ nebo „zmenšením“ vektoru, případně převrácením, pokud je k záporné.

Různé násobky vektoru uRůzné násobky vektoru u

Podle obrázku je vidět, že když násobíme vektor u číslem k, tak:

  • Pokud je absolutní hodnota k menší než jedna, pak je vektor menší.
  • Pokud je absolutní hodnota k větší než jedna, pak je vektor větší.
  • Pokud je k záporné, pak má vektor opačný směr.

Lineární kombinace vektorů #

V lineární algebře často používáme lineární kombinace vektorů. Pokud máme vektory \(\vec{\mathbf{u}}_1, \vec{\mathbf{u}}_2, \vec{\mathbf{u}}_3, \ldots\), pak lineární kombinace těchto vektorů je

  • k násobek jednoho z vektorů \(\vec{\mathbf{u}}_n\),
  • součet libovolných dvou či více vektorů,
  • kombinace předchozího – můžeme sečíst kn násobky libovolných \(\vec{\mathbf{u}}_n\) vektorů.

Máme-li vektory \(\vec{\mathbf{u}}_1, \vec{\mathbf{u}}_2, \ldots, \vec{\mathbf{u}}_n\), pak vektor \(\vec{\mathbf{v}}\) je lineární kombinací vektorů \(\vec{\mathbf{u}}_n\), pokud platí:

\[\vec{\mathbf{v}}=c_1\cdot \vec{\mathbf{u}}_1+c_2\cdot \vec{\mathbf{u}}_2+\ldots+c_n\cdot \vec{\mathbf{u}}_n;\quad c_i\in\mathbb{R}\]

Všimněte si, že koeficienty ci jsou reálná čísla, můžeme tak za ně zvolit nulu, čímž nám jeden z vektorů zcela vypadne. Příklad: máme vektory \(\vec{\mathbf{u}}_1=(1,3), \vec{\mathbf{u}}_2=(0,4), \vec{\mathbf{u}}_3=(7,2)\). Toto jsou některé možné lineární kombinace:

\[\begin{eqnarray}(8, 9)&=&1\cdot(1, 3)+1\cdot(0, 4)+1\cdot(7, 2)\\(22, 17)&=&1\cdot(1, 3)+2(0, 4)+3(7, 2)\\(68, 38)&=&-2(1, 3)+6(0, 4)+10(7, 2)\\(-\frac12, -\frac{43}{2})&=&-\frac12(1, 3)-5(0, 4)+0(7, 2)\\\end{eqnarray}\]
 

Tento web používá k poskytování služeb, personalizaci reklam a analýze návštěvnosti soubory cookie. Používáním tohoto webu s tím souhlasíte. Další informace