PRUMYSL.CZ KONSTRUKTER.CZ 3D-TISK.CZ MATEMATIKA.CZ NOVAMEDIA.CZ

Sudá a lichá funkce

U funkcí můžeme určovat jejich paritu, tedy můžeme určit, jestli je funkce sudá nebo lichá. V krajním případě může být sudá i lichá zároveň, ale většinou nebývá ani sudá ani lichá.

Sudost #

Funkce je sudá, pokud splňuje jednoduché pravidlo – když do funkce vložíte prvek x a poté inverzní prvek −x, pak musí funkce vrátit stejnou výslednou hodnotu. Typickou sudou funkcí je funkce f(x) = x2. Pokud ji zavoláte s argumenty 6 a −6, získáte: f(6) = 36 a f(−6) = 36. Argument se lišil jen ve znaménku, výsledek je tak stejný.

Formální definice by mohla vypadat takto. Pokud je funkce f sudá, pak musí splňovat

\[\forall x\in D(f): f(x)=f(-x)\]

Pro všechny x z definičního oboru funkce musí platit, že i když funkci zavoláme s inverzním argumentem, tj. −x, tak se funkční hodnoty musí rovnat.

Jak se projeví sudá funkce v grafu? Pokud do funkce vložíme x a −x, pak získáme stejné y. Takže když se nad tím zamyslíme: x a −x je na x-ové ose stejně vzdáleno od počátku a mají stejnou y-ovou souřadnici. Znamená to, že graf sudé funkce je souměrný podle y-ové osy. Pro ilustraci graf funkce x2:

Graf sudé funkce f(x)=x^2Graf sudé funkce f(x) = x2

Z klasických funkcí jsou sudé funkce: kosinus, funkce ve tvaru f(x) = xa, kde a je sudé číslo. Z původně liché funkce nám sudou funkci udělá absolutní hodnota, například f(x) = |x|, f(x) = |x3|, f(x) = |1/x|.

Lichá funkce #

Funkce lichá musí splňovat podobná pravidla jako sudá funkce. Takže funkce f je lichá, pokud splňuje toto pravidlo:

\[\forall x\in D(f): f(-x)=-f(x)\]

V praxi to znamená, že pokud liché funkci náleží bod [a, b], pak jí musí náležet i bod s inverzními souřadnicemi, tedy [−a, −b]. Příkladem liché funkce je funkce f(x) = x3. Pokud za x dosadíme dvojku, dostáváme:

\[f(-x)=f(-2)=(-2)^3=-8\]

Ve druhém výrazu bychom dostali

\[-f(x)=-f(2)=-(2^3)=-8\]

Jak se to projeví v grafu? Pokud má funkci náležet bod [a, b] a zároveň [−a, −b]? Když si to nakreslíte, zjistíte, že takový graf bude souměrný s počátkem souřadnicového systému, tj. bodu [0, 0]. Graf funkce f(x) = x3 je zobrazen na následujícím obrázku.

Graf liché funkce f(x)=x^3Graf liché funkce f(x) = x3

Z klasických funkcí jsou liché funkce: f(x) = xa, kde a je liché, f(x) = ax, kde a je libovolné reálné číslo (jedná se tedy o lineární funkci bez absolutního členu). Dále ještě f(x) = a/x nebo sinus.

Ověření sudosti #

Jak ověříme, jestli je funkce sudá? Musíme podle definice. Takže například známá funkce f(x) = x2. Ověříme podle definice. Ta nám říká, že f(x) = f(−x). Pokud je funkce sudá, musí splňovat:

\[x^2=(-x)^2\]

Minus x na druhou můžeme podle pravidel počítání s mocninami rozepsat takto:

\[x^2=(-1)^2\cdot x^2\]

Minus jedna na druhou je jedna, takže dostáváme zpátky jen x2.

\[x^2=1\cdot x^2\]

Je následující funkce sudá?

\[f(x)=\left|\frac{1}{x}\right|\]

Dosadíme do definice:

\[\left|\frac{1}{x}\right|=\left|\frac{1}{-x}\right|\]

Tyto zlomky můžeme přeskládat tak, že místo toho, abychom absolutní hodnotu měli na celý zlomek, přesuneme ji do čitatele a jmenovatele.

\[\frac{|1|}{|x|}=\frac{|1|}{|-x|}\]

Upravíme jmenovatel druhého zlomku, protože jistě platí |x| = |−x|, z definice absolutní hodnoty.

\[\frac{|1|}{|x|}=\frac{|1|}{|x|}\]

Teď už dostáváme rovnost.

Graf funkce f(x)=|1/x|Graf funkce f(x) = |1/x|

Ověření lichosti #

Jak ověříme, jestli je funkce lichá? Musíme opět podle definice. Ta říká, že funkce f je lichá, pokud

\[f(-x)=-f(x)\]

Začněme s funkcí f(x) = x3. Dosadíme do definice:

\[(-x)^3=-x^3\]

Levou stranu si můžeme rozepsat stejně jako v minulém příkladě:

\[(-1)^3\cdot x^3=-x^3\]

Minus jedna na třetí je minus jedna:

\[-1\cdot x^3=-x^3\]

Takže máme rovnost:

\[-x^3=-x^3\]

Funkce je lichá.

Je daná funkce lichá?

\[f(x)=\frac{2}{x}\]

Dosadíme do definice:

\[\frac{2}{-x}=-\frac{2}{x}\]

Není tady moc co upravovat, minusko v prvním zlomku jednoduše vytkneme před celý zlomek, takže dostaneme rovnost:

\[-\frac{2}{x}=-\frac{2}{x}\]

Funkce je lichá.

Graf funkce f(x)=2/xGraf funkce f(x) = 2/x

Ani sudá, ani lichá #

Funkce nemusí být ani sudá, ani lichá. Takových funkcí je asi většina. Příkladem budiž lineární funkce f(x) = x + 1. zkusíme dosadit do definice sudosti:

\[x+1=-x+1\]

Osamostatníme x:

\[\begin{eqnarray}x+1&=&-x+1\\2x+1&=&1\\2x&=&0\end{eqnarray}\]

rovnost neplatí pro všechna x, ale jen pro některá, takže funkce není sudá. Teď lichost:

\[\begin{eqnarray}-x+1&=&-(x+1)\\-x+1&=&-x-1\\0x&=&-2\end{eqnarray}\]

Tato rovnice dokonce nemá řešení nikdy, proto funkce není lichá.

Graf funkce f(x)=x+1Graf funkce f(x) = x + 1

Sudá i lichá #

Existuje funkce, která by byla sudá i lichá zároveň? Existuje graf funkce, který by byl souměrný podle y-ové osy a zároveň podle počátku? Odpovědí je, že ano Existuje právě jedna funkce, která je sudá i lichá zároveň a je to konstantní funkce f(x) = 0. Graf funkce přesně kopíruje osu x.

Poznámka: ve skutečnosti existuje nekonečně mnoho takových funkcí, protože si můžeme definovat funkci g(x), která bude mít stejný předpis, jen bude definována na jiném definičním oboru. Například můžeme mít funkci g(x) = 0, která bude mít definiční obor pouze přirozená čísla. Tato funkce se liší od funkce f(x), která je definována nad reálnými čísly. Nicméně předpis bude vždy stejný.

Složené funkce #

Zajímavá situace nastane, pokud máme dvě funkce, které jsou liché nebo sudé a pokusíme se je sečíst, vynásobit apod. Například výsledkem sčítání dvou sudých funkcí vyjde opět funkce sudá. Pravidel a kombinací je spousta, můžete se podívat na přehlednou tabulku u kolegy (kapitola složené funkce).


Tento web používá k poskytování služeb, personalizaci reklam a analýze návštěvnosti soubory cookie. Používáním tohoto webu s tím souhlasíte. Další informace