Soustavy rovnic

V praxi často narážíme na případ, kdy nepočítáme jednu rovnici, ale hned dvě rovnice zároveň (či ještě více). Nejprve si ukážeme, jak řešit takovouto soustavu rovnic pomocí dosazovací metody. Pro řešení soustav rovnic pomocí matic přejděte na článek systémy lineárních rovnic.

Základy #

Soustava rovnic představuje více rovnic, které řešíme dohromady. V soustavě rovnic obvykle také míváme více proměnných než jednu a snažíme se tak najít takovou kombinaci čísel, které když dosadíme za všechny proměnné, tak všechny rovnice mají smysl.

Příkladem soustavy rovnic může být tato soustava:

\[\begin{array}{ccccc}a&+&b&=&0\\2a&+&b&=&10\end{array}\]

Výsledkem této soustavy by měla být dvojice (nebo množina dvojic) čísel, která dosadíme za proměnné a a za b, přičemž obě rovnice zůstanou platné. Tak nějak od oka vidíme, že proměnná a se musí rovnat b, aby byla splněna rovnice a + b = 0. Pokud máme tuto znalost, pak z druhé rovnice lehce vidíme, že a = 10 a b = −10. Po dosazení dostaneme:

\[\begin{array}{ccccc}10&-&10&=&0\\2\cdot10&-&10&=&10\end{array}\]

Tak, řešení podle oka máme za sebou, teď se pustíme do nějakých funkčních algoritmů pro řešení soustav rovnic.

Dosazovací metoda #

V dosazovací metodě vyjádříme jednu z neznámých v jedné rovnici a tento výsledek poté vložíme do druhé rovnice. Takže na začátek budeme potřebovat nějakou soustavu. Třeba tuhle:

\[\begin{array}{ccccc}4x&+&2y&=&6\\5x&-&3y&=&13\end{array}\]

Toto je jednoduchá soustava dvou rovnic o dvou neznámých. Naším úkolem je vyjádřit proměnné x a y tak, aby obě rovnice měly smysl. Z první rovnice osamostatníme y. Takže si vezmeme jen první rovnici a osamostatníme y.

\[4x+2y=6\]

Jako první odečteme 4x:

\[2y=6-4x\]

Vydělíme dvěma:

\[y=3-2x\]

Nyní víme, čemu se rovná y. Tento výsledek můžeme dosadit za proměnnou y v druhé rovnici. Takže v druhé rovnici namísto y napíšeme 3 − 2x. Čeho tím dosáhneme? Dosháneme toho, že ve druhé rovnici nebudeme mít dvě proměnné, ale pouze jednu, protože na místo proměnné y dosadíme výraz, který obsahuje pouze proměnnou x. Takže dosadíme:

\[\begin{array}{lllll}5x&-&3y&=&13\quad/y=3-2x\\5x&-&3(3-2x)&=&13\end{array}\]

Teď jen roznásobíme závorku a posčítáme co se dá:

\[\begin{array}{rrrll}5x&-&3(3-2x)&=&13\\5x&-&(9-6x)&=&13\\5x&-&9+6x&=&13\\&&11x-9&=&13\\&&11x&=&22\\&&x&=&2\end{array}\]

Nyní známe hodnotu x, ta se rovná dvěma. Zbývá nám vypočítat hodnotu y. To uděláme tak, že dosadíme už známou hodnotu x do nějaké rovnice, která obsahuje obě proměnné – x i y. Můžeme si třeba vybrat úplně první rovnici. Dosadíme takto:

\[\begin{array}{rrcll}4x&+&2y&=&6\quad/x=2\\4\cdot2&+&2y&=&6\\&&2y&=&6-8\\&&2y&=&-2\\&&y&=&-1\\\end{array}\]

Tímto jsme vyřešili soustavu. Soustava rovnic má jediné řešení a to x = 2 a y = −1. Pokud si tento výsledek chcete ověřit, jednoduše dosaďte do obou rovnic. Takže dosazení do první rovnice:

\[\begin{array}{rrrcl}4x&+&2y&=&6\quad/x=2, y=-1\\4\cdot2&+&2\cdot(-1)&=&6\\8&-&2&=&6\\&&6&=&6\end{array}\]

A dosazení do druhé rovnice:

\[\begin{array}{rrrcl}5x&-&3y&=&13\quad/x=2, y=-1\\5\cdot2&-&3\cdot(-1)&=&13\\10&+&3&=&13\\&&13&=&13\end{array}\]

Sčítací metoda #

Tuhle metodu mám radši, ale samozřejmě záleží na konkrétním příkladu. Ne vždy se hodí. Principem sčítací metody je, že sčítání rovnic představuje při řešení sosutav rovnic ekvivalentní úpravu. Sčítání rovnic pak provádíme tak, že sečteme levou stranu jedné rovnice s levou stranu druhé rovnice a pak sečteme pravé strany rovnic. Mějme obecně takovouto soustavu rovnic:

\[\begin{array}{rrrcl}f_1(x)&+&g_1(y)&=&a\\f_2(x)&+&g_2(y)&=&b\end{array}\]

Součtem těchto rovnic bychom dostali jedinou rovnici definovanou takto:

\[f_1(x)+f_2(x)+g_1(y)+g_2(y)=a+b\]

Sečetli jsme levé strany zvlášť a pravé strany zvlášť. Co bude ale naším cílem? Pokud sečteme dvě rovnice a zůstanou nám dvě proměnné, tak si moc nepomůžeme. Proto se snažíme, aby po sečtení obou rovnic zmizela jedna proměnná, to jest aby se navzájem odečetly, navzájem vyrušily. Snažíme se tedy o to, aby součet jedné z dvojic funkcí, buď f nebo g, byl nulový:

\[f_1(x)+f_2(x)=0 \quad\vee\quad g_1(y)+g_2(y)=0\]

Jak toho dosáhneme? Soustava rovnic obsahuje běžné rovnice, na které můžeme aplikovat ekvivalentní úpravy rovnic, tak jak je známe z běžných typů rovnic. Proto můžeme některou z rovnic vynásobit nějakým číslem a platnost rovnice se nezmění. Zkusíme si tak předchozí soustavu rovnic vyřešit pomocí sčítací metody. Zadání je tak stejné:

\[\begin{array}{ccccc}4x&+&2y&=&6\\5x&-&3y&=&13\end{array}\]

Pokud bychom rovnice sečetly okamžitě, zůstaly by nám obě proměnné:

\[4x+5x\ne0,\qquad2y-3y\ne0\]

Proto musíme nejprve aplikovat nějaké úpravy. Budeme se snažit nechat „zmizet“ proměnnou y. K tomu potřebujeme, aby se koeficient před y v obou rovnic rovnal, kromě znaménka – to musí být opačné. Hledáme tak nejmenší společný násobek, což je 6. Jednoduchý postup je, že vynásobíme koeficienty: dva krát tři je šest – číslo šest tak určitě dělí obě čísla (poznámka: tento postup nezajistí nejmenší společný násobek, ale nalezne číslo, které je dělitelné oběma koeficienty).

Nyní se tak snažíme dostat před y v každé rovnici šestku. První rovnici tak vynásobíme třemi, druhou dvěma:

\[\begin{array}{ccccc}4x&+&2y&=&6\quad/\cdot3\\5x&-&3y&=&13\quad/\cdot2\end{array}\]

Dostáváme:

\[\begin{array}{ccccc}12x&+&6y&=&18\\10x&-&6y&=&26\end{array}\]

Nyní rovnice sečteme:

\[\begin{eqnarray}12x+10x+6y-6y&=&18+26\\22x+0y&=&44\end{eqnarray}\]

Dostali jsme tak jednu rovnici o jedné neznámé, kterou už umíme snadno řešit:

\[\begin{eqnarray}22x+0y&=&44\\22x&=&44\\x&=&2\end{eqnarray}\]

Vidíme, že nám vyšel stejný výsledek jako při použití předchozí, dosazovací, metody. Teď bychom jen opět dosadili y do nějaké rovnice a získali bychom výsledek y = −1. Zkouška by také probíhala úplně stejně.

Počet řešení #

Soustava rovnic nemusí mít pouze právě jedno řešení. Může mít také nekonečně mnoho řešení, nebo naopak žádné řešení. Jen stručně k tomu, kdy k tomu nastane. Pokud máme dvě rovnice o dvou neznámých a jednu z těchto rovnic můžeme vyjádřit pomocí druhé rovnice tak, že na ni aplikujeme nějaké ekvivalentní úpravy, pak má soustava nekonečně mnoho řešení. Příkladem budiž soustava

\[\begin{array}{rrrcl}x&+&y&=&2\\2x&+&2y&=&4\end{array}\]

Vidíme, že pokud první rovnici vynásobíme dvěma, získáme přesně druhou rovnici. Druhá rovnice nám tak nepřináší žádnou „novou informaci“ o soustavě, takže je prakticky zbytečná. Celkově se to projeví tím, že jakékoliv řešení rovnice

\[x+y=2\]

je zároveň řešením celé soustavy. Například dvojice (1, 1) nebo (−3, 5) jsou řešením první rovnice a zároveň celé soustavy.

Soustava pak nemá ani jedno řešení, máme v soustavě nějaké protichůdné rovnice, které nemohou zároveň platit. Například:

\[\begin{array}{rrrcl}x&+&y&=&2\\x&+&y&=&4\end{array}\]

Nemůže zároveň platit, aby se součet x + y rovnal dvěma i čtyřem zároveň, proto soustava nemá žádné řešení. Ještě pár příkladů:

První příklad #

Vypočítejte následující soustavu dvou rovnic o dvou neznámých:

\[\begin{array}{rrrcl}7x&+&3y&=&21\\14x&+&9y&=&0\end{array}\]

Po letmém pohledu na soustavu vidíme, že je to adept na sčítací metodu. Koeficient u x je ve druhé rovnici dvakrát větší než v první rovnici a koeficient u y je ve druhé rovnici třikrát větší. Stačí tedy první rovnici vynásobit buď minus dvěma nebo minus třemi a sečíst rovnice. Zkusíme odečíst například proměnnou y, takže vynásobíme první rovnici −2. Dostáváme:

\[\begin{array}{rrrcl}-14x&-&6y&=&-42\\14x&+&9y&=&0\end{array}\]

Sečteme tyto dvě rovnice a dostáváme

\[\begin{eqnarray}14x-14x+9y-6y&=&-42\\3y&=&-42\\y&=&-14\end{eqnarray}\]

Máme první výsledek naší soustavy. Tento výsledek dosadíme do nějaké rovnice, můžeme to opět dosadit do úplně první rovnice:

\[\begin{eqnarray}7x+3y&=&21\quad/y=-14\\7x+3\cdot(-14)&=&21\\7x-42&=&21\\7x&=&63\\x&=&9\end{eqnarray}\]

Máme tak výsledek soustavy rovnic, x = 9 a y = −14.

Druhý příklad #

Vypočítejte následující soustavu dvou rovnic o dvou neznámých:

\[\begin{array}{rcl}(x + 4)(y - 2)& =& (x - 2)(y + 13)\\(x - 1)(y - 3) &= &(x + 2)(y - 5)\end{array}\]

Tohle vypadá trochu divoce, ale půjde to. Ze všeho nejdříve musíme roznásobit závorky, bez toho se nikam moc nedostaneme.

\[\begin{eqnarray}xy - 2x + 4y - 8 &=& xy + 13x - 2y - 26\\xy - 3x - y + 3 &=& xy - 5x + 2y - 10\end{eqnarray}\]

Teď upravíme rovnice do použitelnější podoby, proměnné převedeme na levou stranu rovnice a absolutní členy na pravou, dále odečteme co se dá.

\[\begin{array}{rrrcl}-15x& +& 6y &=& -18\\2x &-& 3y& =& -13\end{array}\]

Nyní už jsme z těch nehezky vypadajících rovnic dostali docela použitelnou soustavu rovnic a můžeme uplatnit některý z klasických postupů. Můžeme třeba druhou rovnici vynásobit dvěma a sečíst s první rovnicí. Po vynásobení druhé rovnice dvěma získáváme:

\[\begin{array}{rrrcl}-15x& +& 6y &=& -18\\4x &-& 6y& =& -26\end{array}\]

Teď sečteme obě rovnice klasickou sčítací metodou:

\[\begin{eqnarray}4x-15x+6y-6y&=&-18-26\\-11x&=&-44\\11x&=&44\\x&=&4\end{eqnarray}\]

Výborně, už známe jeden výsledek. Tento výsledek dosadíme do některé z rovnic a vypočítáme y. Můžeme dosadit například do rovnice 2x− 3y = −13 a získáme:

\[\begin{eqnarray}2x - 3y &=& -13\quad/x=4\\8 - 3y &=& -13\\-3y &=& -21\\-y &=& -7\\y&=&7\end{eqnarray}\]

Nyní už máme kompletní výsledek soustavy rovnic – má řešení v případě, že x = 4 a y = 7.