Směrnicový tvar přímky

Zobrazit kapitoly článku
  1. Parametrické vyjádření přímky
  2. Obecná rovnice přímky
  3. Normálový vektor přímky
  4. Směrnicový tvar přímky
  5. Rovnice přímky v prostoru

Směrnicový tvar přímky vychází z velikosti úhlu, který svírá přímka s osou x.

Motivace #

Máme přímku p, která má obecnou rovnici ax + by + c = 0. Víme, že grafem lineární funkce je právě přímka. Přitom lineární funkci jako takovou obvykle zapisujeme ve tvaru y = f(x). Mohli bychom tak chtít převést obecnou rovnici přímky ax + by + c = 0 právě na tento tvar. Abychom toho docílili, potřebujeme, aby b ≠ 0, protože potřebujeme z rovnice osamostatnit y a tedy celou rovnici vydělit b. Pokud tak b ≠ 0, můžeme obecnou rovnici upravit takto:

\[\begin{eqnarray}ax+by+c&=&0\qquad/ :b\\\frac{ax}{b}+y+\frac{c}{b} &=&0\qquad/ \mbox{ osamostatníme }y\\y&=&-\frac{ax}{b}-\frac{c}{b}\end{eqnarray}\]

Tím jsme získali zápis běžné lineární funkce. Protože je tento zápis docela složitý, provádíme nahrazení, takže položíme rovnosti

\[\begin{eqnarray}k &=& -\frac{a}{b}\\q&=& -\frac{c}{b}\end{eqnarray}\]

a pak můžeme předchozí rovnici zapsat ve tvaru:

\[y = kx+q\]

Není to žádný jiný tvar, jen jsme místo škaredého zlomku \(-\frac{c}{b}\) napsali q, to je celé. Protože tvar kx + q popisuje běžnou lineární funkci, přímka v tomto tvaru nemůže být rovnoběžná s osou y. To jsme ostatně vyloučili už tím, že jsme řekli, že b ≠ 0.

Pokud by platilo, že b = 0, pak by přímka byla rovnoběžná s osou y a obecná rovnice takové přímky by měla tvar ax + c = 0. Pokud tuto rovnici vydělíme číslem a a upravíme, získáme:

\[\begin{eqnarray}ax + c &=& 0\qquad /:a\\x + \frac{c}{a} &=& 0\\x &=& -\frac{c}{a}\end{eqnarray}\]

Protože zlomek \(-\frac{c}{a}\) je zase škaredý, zavádíme substituci \(m = -\frac{c}{a}\), takže nakonec získáme rovnici

\[x = m\]

Když to shrneme, každou přímku, která není rovnoběžná s osou y můžeme napsat ve tvaru y = kx + q, kde \(k, y \in \mathbb{R}\) a každou přímku rovnoběžnou s osou y můžeme napsat ve tvaru x = m, kde \(m \in \mathbb{R}\).

Rovnici ve tvaru y = kx + y se pak říká směrnicový tvar přímky a koeficient k nazýváme směrnicí přímky.

Příklad #

Máme přímku, která prochází body A[2, 8], B[8, 10]. Určete směrnicový tvar přímky. Směrnicový tvar se nejlépe určuje z obecné rovnice přímky, takže nejprve sestrojíme ji. Obecná rovnice má tvar ax + by + c = 0, kde (a, b) je normálový vektor, takže nalezneme normálový vektor. Směrový vektor má souřadnice [8, 10]−[2, 8] = [6, 2], takže normálový vektor \(\vec{\mathbf{n}}\) má souřadnice [−2, 6]. Do obecné rovnice tak můžeme dosadit a = −2, b = 6:

\[-2x+6y+c=0\]

Za souřadnice [x, y] dosadíme do rovnice nějaký bod, kterým přímka jistě prochází. Například bod B[8, 10]. Takže dosadíme do rovnice x = 8, y = 10:

\begin{eqnarray} -2\cdot8+6\cdot10+c&=&0\\ -16+60+c&=&0\\ c&=&-44\\ \end{eqnarray}

Vychází nám obecná rovnice

\[-2x+6y-44=0\]

Tuto rovici můžeme vydělit −2, získáme o trochu hezčí tvar:

\[x-3y+22=0\]

Směrnicový tvar získáme tak, že osamostatníme y. Převedeme všechny ostatní členy na pravou stranu a následně rovnici vydělíme třemi:

\begin{eqnarray} x-3y+22&=&0\\ -3y&=&-x-22\qquad/\cdot -1\\ 3y&=&x+22\qquad \cdot \frac13\\ y&=&\frac{1}{3}x+\frac{22}{3} \end{eqnarray}

Poslední řádek představuje přímku ve směrnicovém tvaru. Pokud bychom chtěli znát koeficienty k, q, zapsali bychom si \(k=\frac13, q=\frac{22}{3}\). Ještě si můžete prohlédnout graf přímky se směrovým vektorem \(\vec{\mathbf{u}}\) a normálovým vektorem \(\vec{\mathbf{n}}\):

Přímka p se směrovým vektorem \vec{\mathbf{u}} a normálovým vektorem \vec{\mathbf{n}}Přímka p se směrovým vektorem \(\vec{\mathbf{u}}\) a normálovým vektorem \(\vec{\mathbf{n}}\)

Pokud by nám zrovna koeficient q nevyšel tak nešikovně \(\frac{22}{3}\), tak byste na první pohled viděli, že koeficient q určuje y-ovou souřadnici průsečíku přímky s osou y. Průsečík s osou yx-ovou souřadnici x = 0. Když toto dosadíme do rovnice \(y=\frac{1}{3}x+\frac{22}{3}\), dostaneme \(y=\frac{1}{3}\cdot0+\frac{22}{3}=\frac{22}{3}\), tedy pro x = 0y hodnotu \(y = \frac{22}{3}\).

Směrnice přímky #

Máme-li rovnici přímky ve směrnicovém tvaru y = kx + q, pak číslu k říkáme směrnice přímky. Směrnice přímky má souvislost s úhlem, který svírá úsečka s kladnou poloosou x. Podívejte se na následující obrázek:

Čtyři různé přímky s různou směrnicíČtyři různé přímky s různou směrnicí

Obrázek zachycuje čtyři různé přímky s různými směrnicemi q, ale vždy se stejným koeficientem q = 2. Všechny přímky jsou tak ve tvaru y = qx + 2. Všimněte si, že jak se plynule mění hodnota směrnice, tj. číslo před neznámou x, tak se mění i úhel, který svírá přímka s kladnou poloosou x. Např. fialová přímka \(y = \frac12x+2\) svírá s poloosou úhel δ, červená přímka y = x + 2 svírá s poloosou úhel γ a zelená přímka y = 2x + 2 svírá s poloosou úhel β.

V tomto případě platí, že čím větší je směrnice, tím větší je i úhel, který přímka s poloosou svírá. Směrnice fialové přímky \(y = \frac12x + 2\) je \(k_1 = \frac12\), směrnice zelené přímky y = 2x + 2 je k2 = 2, platí tak k1 < k2. Zároveň platí, že δ < β. Ale např. směrnice modré přímky y = −2x − 2 je k3 = −2, je tak menší než všechny předcházející a přitom úhel α je ze všech úhlů největší.

Vidíme, že směrnice k má s úhlem nějaký vztah. Prozkoumáme ho blíže. Zobrazíme si jen fialovou přímku \(y = \frac12x+2\) a bude nás zajímat úhel δ. Zvolíme na přímce libovolné dva různé body A, B a vytvoříme z nich pravoúhlý trojúhelník ABC, jak je znázorněno na obrázku. Bude platit, že úhly δ a ε mají stejnou velikost, protože se jedná o souhlasné úhly.

Přímka y = \frac12x+2Přímka \(y = \frac12x+2\)

Budeme se nyní snažit vyjádřit úhel ε za pomocí úseček AC a BC. Abychom to mohli udělat, potřebujeme znát délky těchto úseček. Označme si souřadnice bodů A a B takto: A = [x1, x2] = [2, 3] a B = [x2, y2] = [6, 5]. Délka úsečky AC tak bude rovnat rozdílu |x2x1| = |6 − 2| = 4. Vezmeme x-ovou souřadnici bodu B, která je shodná s x-ovou souřadnicí bodu C a odečteme od tohoto čísla x-ovou souřadnici bodu A. Tím získáme délku úsečky AC. Totéž uděláme s úsečkou BC, akorát vezmeme y-ové souřadnice. Platí tak |BC| = |y2y1| = |5 − 3| = 2.

Dále použijeme goniometrické funkce, konkrétně tangens. V pravoúhlém trojúhelníku ABC platí pro úhel ε, \(\tan(\epsilon) = \frac{|BC|}{|AC|}\). Tangens úhlu ε je roven poměru protilehlé odvěsny ku přilehlé odvěsně. Pokud dosadíme za úsečky jejich vzdálenosti, získáme:

\[\tan(\epsilon) = \frac{|BC|}{|AC|} = \frac{|y_2-y_1|}{|x_2-x_1|} = \frac{2}{4} = \frac12\]

Tangens úhlu ε, který je stejný jako úhel δ, nám tak vyšel \(\frac12\). Tangens úhlu, který svírá přímka s kladnou poloosou x je \(\frac12\). Přitom rovnice této přímky je \(y = \frac12x+2\), tedy tangens úhlu který svírá přímka s kladnou poloosou x je shodný se směrnicí této přímky! To není náhoda a platí to obecně:

Máme-li přímku p, která má směrnicovou rovnici y = kx + q, tak směrnice k je rovna tangentě úhlu, který svírá přímka p s kladnou poloosou x.

Odkazy a zdroje #