PRUMYSL.CZ KONSTRUKTER.CZ 3D-TISK.CZ MATEMATIKA.CZ NOVAMEDIA.CZ

Vlastnosti sinu, cosinu, tangensu a cotangensu

Zobrazit kapitoly článku
  1. Základní goniometrické funkce
  2. Jednotková kružnice
  3. Cyklometrické Arcus funkce
  4. Sinus, cosinus, tangens a cotangens
  5. Vzorce pro goniometrické funkce
  6. Grafy goniometrických funkcí
  7. Sinová a cosinová věta

Sinus a cosinus jsou základní goniometrické funkce.

Sinus #

Sinus úhlu alfa je rovný poměru délky protilehlé odvěsny ku délce přepony v pravoúhlém trojúhelníku.

\[\sin(\alpha)=\frac{\mbox{Delka protilehle odvesny}}{\mbox{Delka prepony}}\]

Grafem funkce sinus je křivka zvaná sinusoida. Graf si můžete prohlédnout na následujícím obrázku:

Graf funkce sinusGraf funkce sinus

Sinus je periodická funkce, která má nejmenší periodu . Další vlastnosti:

  • Definiční obor je množina všech reálných čísel.
  • Obor hodnot je interval \(\left<-1,1\right>\).
  • Sinus má maximum v nekonečně mnoha bodech. Přesněji „první“ maximum má v bodě \(x=\frac{\pi}{2}\) a protože je to periodická funkce, tak má maximum také v každém bodě \(\frac{\pi}{2}+2k\pi\), kde k je celé číslo. Hodnota maxima je pak 1.
  • Podobně pro minimum: sinus má minimum v bodech \(-\frac{\pi}{2}+2k\pi\), kde k je celé číslo a jeho hodnota je −1.
  • Sinus je lichá a omezená funkce.

Cosinus #

Cosinus úhlu alfa se rovná poměru délky přilehlé odvěsny ku délce přepony v pravoúhlém trojúhelníku. Takže pokud na kalkulačce spočítáme cosinus úhlu alfa, získáme tím hodnotu podílu

\[\cos(\alpha)=\frac{\mbox{delka prilehle odvesny}}{\mbox{delka prepony}}.\]

Grafem funkce cosinus je křivka zvaná cosinusoida. Graf si můžete prohlédnout na následujícím obrázku:

Graf funkce cosinusGraf funkce cosinus

Cosinus je periodická funkce, která má nejmenší periodu . Další vlastnosti:

  • Definiční obor je množina všech reálných čísel.
  • Obor hodnot je interval \(\left<-1,1\right>\).
  • Cosinus má maximum v nekonečně mnoha bodech. Přesněji „první“ maximum má v bodě x = 0 a protože je to periodická funkce, tak má maximum také v každém bodě 2kπ, kde k je celé číslo. Hodnota maxima je pak 1.
  • Podobně pro minimum: cosinus má minimum v bodech π + 2kπ, kde k je celé číslo a jeho hodnota je −1.
  • cosinus je sudá a omezená funkce.

Tangens #

Tangens úhlu alfa se rovná poměru délky protilehlé odvěsny ku délce přilehlé odvěsny v pravoúhlém trojúhelníku. Tangens obvykle značíme buď tg nebo tan.

\[\tan(\alpha)=\frac{\mbox{Delka protilehle odvesny}}{\mbox{Delka prilehle odvesny}}\]

Grafem této funkce je křivka zvaná tangentoida:

Graf funkce tangensGraf funkce tangens

Tangens se od předchozích funkcí liší především v periodě, která už není , ale pouze jedno π. Další vlastnosti:

\[D(tan)=\mathbb{R}-\left\{\frac{\pi}{2}+k\pi\right\}\quad k\in\mathbb{Z}\]

Cotangens #

Cotangens úhlu alfa se rovná poměru délky přilehlé odvěsny ku délce protilehlé odvěsny. Cotangens obvykle značíme cot nebo cotan.

\[\cot(\alpha)=\frac{\mbox{Delka prilehle odvesny}}{\mbox{Delka protilehle odvesny}}\]

Grafem této funkce je křivka zvaná cotangentoida:

Graf funkce cotangensGraf funkce cotangens

Další vlastnosti:

\[D(cot)=\mathbb{R}-\left\{k\pi\right\};\quad k\in\mathbb{Z}\]

Vztah mezi sinem a cosinem #

Goniometrické funkce mají mezi sebou blízké vztahy. Když se podíváte na graf funkce sinus a cosinus současně, tak zjistíte, že se od sebe moc neliší, že jedna je jen trochu posunutá oproti té druhé.

Funkce sinus a cosinus jsou jen posunuté o \pi/2Funkce sinus a cosinus jsou jen posunuté o π/2

Takže pokud k argumentu funkce vždy přičteme π/2, dostaneme funkci cosinus:

Funkce sinus posunutá o \pi/2 – křivka je shodná s grafem funkce cosinusFunkce sinus posunutá o π/2 – křivka je shodná s grafem funkce cosinus

A naopak, pokud u cosinu odečteme π/2, dostaneme sinus.

Funkce cosinus posunutá o \pi/2 zpět – křivka je shodná s grafem funkce sinusFunkce cosinus posunutá o π/2 zpět – křivka je shodná s grafem funkce sinus

Můžeme tak napsat tyto vzorce:

\[\begin{eqnarray}\sin(x)&=&\cos(x-\frac{\pi}{2})\\\cos(x)&=&\sin(x+\frac{\pi}{2})\end{eqnarray}\]

Jak vyjádřit tangens a cotangens #

Funkci tangens můžeme lehce vyjádřit pomocí sinu a cosinu. Stačí si uvědomit, co to tangens je: poměr délek protilehlé odvěsny ku délce přilehlé odvěsně. Vezmeme si na pomoc tento trojúhelník:

Trojúhelní s vyznačeným úhlem betaTrojúhelní s vyznačeným úhlem beta

Čemu se rovná tangens úhlu beta?

\[\tan(\beta)=\frac{|b|}{|c|}.\]

Jak bychom mohli vyjádřit čitatele nebo jmenovatele? Čemu se rovná délka strany b a délka strany c? Víme, že sinus úhlu beta je roven:

\[\sin(\beta)=\frac{|b|}{|a|}\]

Z toho vzorce osamostatníme |b|:

\[|b|=\sin(\beta)\cdot|a|\]

Cosinus úhlu beta je rovný:

\[\cos(\beta)=\frac{|c|}{|a|}\]

Osamostatníme |c|:

\[|c|=\cos(\beta)\cdot|a|\]

V tuto chvíli máme délky stran b a c vyjádřené pomocí funkcí sinus cosinus. Dosadíme tak tyto mezivýsledky do původní rovnice s tangensem:

\[\tan(\beta)=\frac{|b|}{|c|}=\frac{\sin(\beta)\cdot|a|}{\cos(\beta)\cdot|a|}\]

Z čitatele a jmenovatele můžeme zkrátit |a| a dostaneme konečný vzorec:

\[\tan(\beta)=\frac{\sin(\beta)}{\cos(\beta)}\]

Tangens tak můžeme rozepsat jako podíl sinu a cosinu. Už bez odvození si povíme, že cotangens můžeme napsat jako obrácený zlomek, tj. podíl cosinus lomeno sinus.

\[\begin{eqnarray}\tan(\alpha)&=&\frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}\\\cot(\alpha)&=&\frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)}\end{eqnarray}\]

Vztah mezi tangensem a cotangensem #

Podobně jako jsou si podobné funkce sinus a cosinus, jsou si podobné i funkce tangens a cotangens. Prohlédněte si oba grafy v jednom obrázku:

Podobnost funkcí tangens a cotangensPodobnost funkcí tangens a cotangens

Jakým způsobem uděláme z křivky, která popisuje tangens, křivku popisující cotangens? Cotangens je posunutý o π/2, tím začneme:

Tangens posunutý o \pi/2Tangens posunutý o π/2

Už jsme se dostali blíže ke cotangensu, ale stále máme křivky ve špatné směru, cotangens je ve vybraných intervalech klesající, zatímco tato posunutá křivka je rostoucí. Tomu pomůžeme tak, že změníme znaménko proměnné x:

Graf funkce tangens a cotangensGraf funkce tangens a cotangens

Můžeme tak napsat:

\[\cot(x)=\tan(-x+\frac{\pi}{2})\]

Tabulkové hodnoty #

Sinus, cosinus, tangens a cotangens mají pro některé hezké úhly hezké výsledné hodnoty. Zde je jejich základní přehled:

\[\LARGE\begin{matrix}&\sin&\cos&\tan&\cot\\0^\circ&0&1&0&\times\\30^\circ&\frac12&\frac{\sqrt{3}}{2}&\frac{\sqrt{3}}{3}&\sqrt{3}\\45^\circ&\frac{\sqrt{2}}{2}&\frac{\sqrt{2}}{2}&1&1\\60^\circ&\frac{\sqrt{3}}{2}&\frac12&\sqrt{3}&\frac{\sqrt{3}}{3}\\90^\circ&1&0&\times&0\end{matrix}\]
 

Tento web používá k poskytování služeb, personalizaci reklam a analýze návštěvnosti soubory cookie. Používáním tohoto webu s tím souhlasíte. Další informace