Přirozená čísla

Přirozená čísla jsou nejčastějšími čísly, se kterými se setkáváme v běžném životě. Jedná se o kladná celá čísla, tedy o čísla 1, 2, 3, 4, …

Značení

Přirozená čísla je množina, která obsahuje kladná celá čísla 1, 2, 3, 4, … Tuto množinu obvykle značíme pomocí písmene N se zdvojenou první nožkou, takto: . Je to z anglického "naturals".

Někdy předpokládáme, že množina přirozených čísel obsahuje i nulu. Pokud to potřebujeme rozlišit, používáme obvykle klasické pro množinu bez nuly a pokud chceme i nulu, pak přidáme nulu do indexu takto: 0. Často pak ještě používáme značení s pluskem pro zvýraznění, že počítáme s přirozenými čísly bez nuly $\mathbb{N}^+$.

Přirozená čísla používáme především pro určování množství něčeho ("máme doma tři židle", "v parku je třicet laviček", …) a pro určení pořadí ("první člověk na měsíci", "Kanada je druhá největší země na světě", …).

Vlastnosti

Přirozená čísla mají některé zajímavé vlastnosti:

  1. Množina přirozených čísel je nekonečná, ale je spočetná, můžeme je všechny uspořádat do posloupnosti.
  • Přirozená čísla jsou uzavřená vůči operaci sčítání a násobení. Znamená to, že pokud vynásobíme nebo sečteme kterákoliv dvě přirozená čísla, získáme opět přirozené číslo.
  • Nejsou uzavřená vůči odečítání, protože pokud odečteme větší číslo od menšího, dostaneme záporné číslo.
  • Podobně nejsou ani uzavřená vůči dělení, například 7/2 není přirozené číslo.

Dělení se zbytkem

V minulé kapitole jsme si řekli, že přirozená čísla nejsou uzavřená vůči dělení. Nicméně můžeme nadefinovat operaci dělení se zbytkem, což jistě všichni znáte. Pokud vydělíme 7/2, dostaneme 3,5. Pokud použijeme dělení se zbytkem, získáme výsledek 3 a zbytek 1. Tedy pokud vynásobíme 3 · 2 a přičteme zbytek, získáme zpátky 7: 3 · 2 + 1 = 7.

Přirozená čísla sice nejsou pak uzavřená vůči této operaci, ale přirozená čísla včetně nuly už ano. Tedy jak výsledek, tak zbytek bude obsažen v množině 0.

Definice dělení se zbytkem vypadá takto:

$$a=bq+r; \qquad a, q, r\in\mathbb{N}_0, b\in\mathbb{N}, r < b$$

V definici jsme dělili a:b, číslo r se nazývá zbytek po dělení a q výsledek dělení. Co znamenjaí podmínky? Předpokládáme, že se pohybujeme v přirozených číslech včetně nuly, ale protože nemůžeme dělit nulou, tak vybíráme b z množiny bez nuly.

Takže pro příklad, pro výpočet 19:5 by platilo: a = 19 a b = 5. Rozklad by vypadal takto:

$$19=5\cdot3+4$$

Tedy q = 3, to je výsledek po dělení a r = 4, to je zbytek.

Odkazy