PRUMYSL.CZ KONSTRUKTER.CZ 3D-TISK.CZ MATEMATIKA.CZ NOVAMEDIA.CZ

Petrohradský paradox

Zobrazit kapitoly článku
  1. Problém tří dveří
  2. Pravděpodobnostní lhářův paradox
  3. Vázankový paradox
  4. Simpsonův paradox
  5. Lékařský paradox
  6. Petrohradský paradox
  7. Netransitivní kostky

Petrohradský paradox míchá dohromady statistiku, rozhodování a pravděpodobnost. V Petrohradě máme kasíno, které nám nabízí hru, ve které můžeme vyhrát určitý počet peněz. Naším úkolem je zjistit, jaká by bylo férové vstupné do této hry.

Pravidla hry #

Pokud vstoupíme do hry, žačne obsluha házet mincí. Pokud v prvním hodu padne hlava, hra končí a my jsme vyhráli jeden dolar. Pokud padne orel, hra pokračuje dále. V druhém kole se opět hází mincí. Pokud padne hlava, hra končí a my jsme vyhráli dvojnásobek předchozí možné výhry, tedy dva dolary. Pokud padne orel, pokračujeme dále. Padle-li ve třetím kole hlava, vyhráváme čtyři dolary. Padne-li ve čtvrtém kole, vyhráváme osm dolarů.

Když to zobecníme – pokud padla hlava v k-tém kole, pak jsme vyhráli 2k − 1 dolarů. Otázka nyní zní, jaké by bylo férové vstupné do této hry?

Očekávaná hodnota #

Férová cena by se měla odvíjet od očekávané (střední) hodnoty. Pokud například v průměru můžeme vyhrát sto dolarů, mělo by být vstupné sto dolarů, respektive o trochu víc, aby kasíno vydělalo. Jaká je ovšem očekávaná hodnota v naší hře? Rozepíšeme si podrobnosti, s jakými můžeme získat jednotlivé výhry. V prvním sloupci jsou výhry, ve druhém je naše šance, že na danou výhru dosáhneme. Například šance, že v prvním hodu padne hlava je \(\frac12\). Šance, že padne nejdříve orel a pak hlava je \(\frac14\). Apod.

\[\begin{array}{cc}1&1/2\\2&1/4\\4&1/8\\8&1/16\\16&1/32\\…&…\end{array}\]

Jak nyní spočítáme střední hodnotu? Vynásobíme částku, kterou můžeme získat s pravděpodobností, se kterou na tuto částku můžeme dosáhnout a všechno sečteme. Dostáváme:

\[\begin{eqnarray}E&=&\frac12\cdot1+\frac14\cdot2+\frac18\cdot4+\frac{1}{16}\cdot8+\ldots\\&=&\frac12+\frac12+\frac12+\frac12+\ldots\\&=&\sum_{k=1}^{\infty}\frac12=\infty\end{eqnarray}\]

Očekávaná hodnota je nekonečno. Střední hodnota výhry je tak, v idealizovaném případě, nekonečně mnoho dolarů. To nevypadá špatně. Problémem je, že zároveň i vstup by měl být rovný nekonečnu. To je samozřejmě nesmysl.

Kritici tohoto paradoxu samozřejmě namítají, že nemůžete hrát nekonečně dlouhou dobu, nemůžeme vyhrát nekonečně mnoho peněz a dokonce i když „snížíte“ počet maximálních hodů mincí z nekonečna na nějaké konečné číslo n, pak se stejně poměrně brzy dostanete do takových částek, které nikdo na světě nemá. Například po 41 hodech už byste vyhráli 240 dolarů, což je přibližně bilion dolarů (tisíc miliard dolarů). Po dalších deseti hodech byste vyhráli tisíckrát více peněz.

Konečné vstupné #

Nekonečně mnoho dolarů vám samozřejmě nikdo na vstupném nedá. Nicméně paradox lze částečně předvést i s konečným množstvím peněz. Pro každou celodolarovou částku totiž existuje maximální počet hodů mincí, pro kterou vyjde střední hodnota taková, jakou potřebujeme. Pokud například chceme mít vstupné tisíc dolarů, řekneme, že maximální počet hodů mincí je 2000. Pak počítáme takovouto sumu:

\[\sum_{k=1}^{2000}\frac12=2000\cdot\frac12=1000\]

Střední hodnota pak bude 1000 dolarů. Chceme-li mít vstupné ve výši D dolarů, pak řekneme, že maximální počet hodů mincí je 2D.

Samozřejmě ale žádný rozumný člověk nezaplatí vstupné například tisíc dolarů, pokud má naprosto minimální šanci, že vyhraje více než tisíc dolarů.

Další zdroje #

 

Tento web používá k poskytování služeb, personalizaci reklam a analýze návštěvnosti soubory cookie. Používáním tohoto webu s tím souhlasíte. Další informace