PRUMYSL.CZ KONSTRUKTER.CZ 3D-TISK.CZ MATEMATIKA.CZ NOVAMEDIA.CZ

Parametrická lineární rovnice

Zobrazit kapitoly článku
  1. Lineární rovnice
  2. Neznámá ve jmenovateli
  3. S absolutní hodnotou
  4. Parametrické lineární rovnice

Lineární rovnice může obsahovat parametr, který obvykle značíme p. Naším cílem je pak provést diskusi, jaké řešení má lineární rovnice v závislosti na parametru p.

Motivace #

Zkuste vyřešit následující úlohu: napsali jste román „Jak Rumcajs se Sněhurkou Rákosníčka z lesa vyhnali“ a chcete si ho nechat vytisknout jako knihu a podarovat známé. Přitom máte k dispozici 10 000 Kč. Cena je následující: základní poplatek činí sto korun za knihu a dále se platí korunu za každou stranu. Váš román má 300 stránek. Kolik knih si můžete dovolit pořídit?

Toto je jednoduchá úloha na lineární rovnice. Rovnici sestavíme takto: neznámá x bude představovat počet knih, které si můžeme pořídit. Takže dostáváme rovnici: (100 + 300)x = 10 000. Výraz v závorce představuje cenu jedné knihy (100 je základ, 300 cena za stránky). Rovnici vyřešíme:

\[\begin{eqnarray}(100+300)x&=&10 000\\400x&=&10 000\\x&=&\frac{10 000}{400}\\x&=&25\end{eqnarray}\]

Můžeme si dovolit koupit 25 knih. Nicméně cena za stránku je příliš velká, snížíme ji na 0, 8. Kolik knih získáme teď? Znova sestavíme rovnici: (100 + 300 · 0, 8)x = 10 000 a vyřešíme:

\[\begin{eqnarray}(100+300\cdot0,8)x&=&10 000\\(100+240)x&=&10 000\\340x&=&10 000\\x&=&\frac{10 000}{340}\\x&\thickapprox&29\end{eqnarray}\]

Můžeme si koupit 29 knih. Popravdě řečeno, při tak poměrně velkém množství stránek bychom možná mohli požadovat nějakou slevičku na každou stránku, že? Možná jen 60 haléřů, 0, 6 korun? Ale jo. Tak spočítáme, kolik knih získáme.

Asi tušíte, že takhle bychom mohli měnit cenu donekonečna. Jakým elegantním způsobem to vyřešíme? Vyřešíme to pomocí parametru, pomocí dalšího písmenka, které bude představovat cenu za jednu stránku naší knihy. Tento parametr označíme písmenem p. Abychom si ho omezili, tak řekněme, že cena za stránku se bude pohybovat v intervalu \(\left(0, 1\right>\) korun. Nebude nulová, zadarmo nám to nikdo tisknout nebude a nikdo nebude dražší než koruna za stránku. Jak poté bude vypadat rovnice?

\[(100+300p)x=10 000\]

Sedí to s naší představou o ceně – sto korun je základ, ten se nijak nemění. A cenu za 300 stránek vypočteme tak, že vynásobíme cenu za stránku, tj. parametr p, třístovkou. Jaké bude řešení rovnice? Musíme osamostatnit x:

\[\begin{eqnarray}(100+300p)x=10 000\\x=\frac{10 000}{100+300p}\end{eqnarray}\]

To je vše. V tuto chvíli nám stačí znát cenu za stránku a vypočteme si, kolik knih získáme. Pokud by cena za stránku bya dvacet haléřů, máme po dosazení za p:

\[x=\frac{10 000}{100+300\cdot0,2}=\frac{10 000}{100+60}=\frac{10 000}{160}\thickapprox62\]

Koupili bychom si 62 knih. To už je celkem hezké.

Obecná parametrická rovnice #

U obecné parametrické rovnice se snažíme zjistit, jaká má rovnice řešení v závislosti na hodnotě parametru. Příkladem takové rovnice může být:

\[(2p+2)x-6=0\]

Jako první zjistíme, kdy z takové rovnici zmizí neznámá x. To nastane v případě, kdy je koeficient před neznámou rovný nule, tj. když 2p + 2 = 0. Vyřešíme tuto rovnici a dostaneme:

\[\begin{eqnarray}2p+2&=&0\\2p&=&-2\\p&=&-1\end{eqnarray}\]

V případě, že se parametr p rovná minus jedničce, pak z rovnice vypadne neznámá x a dostáváme tvar rovnice: −6 = 0. Tato rovnice nemá žádné řešení.

Nyní ještě dopočítáme řešení v případě, že \(p\ne-1\). Řešení vypočítáme klasicky, jen nedostaneme „konečné“ řešení, ale řešení závislé na parametru p. Osamostatníme x:

\[\begin{eqnarray}(2p+2)x-6&=&0\quad/+6\\(2p+2)x&=&6\quad/:(2p+2)\\x&=&\frac{6}{2p+2}\\x&=&\frac{3}{p+1}\end{eqnarray}\]

Toto je finální výsledek. V případě, že \(p\ne-1\), je kořen rovnice rovný zlomku 3/(p + 1).

 

Tento web používá k poskytování služeb, personalizaci reklam a analýze návštěvnosti soubory cookie. Používáním tohoto webu s tím souhlasíte. Další informace