PRUMYSL.CZ KONSTRUKTER.CZ 3D-TISK.CZ MATEMATIKA.CZ NOVAMEDIA.CZ

Parametrická kvadratická rovnice

Zobrazit kapitoly článku
  1. Základní kvadratická rovnice
  2. Řešení pomocí diskriminantu
  3. Parametrická kvadratická rovnice
  4. Řešení v oboru komplexních čísel

Parametrická kvadratická rovnice se od normální kvadratické rovnice liší tím, že obsahuje navíc parametr, často označovaný jako p nebo m. Naším úkolem je pak zjistit, jaké má kvadratická rovnice řešení v závislosti na tomto parametru p.

První příklad #

Máme následující kvadratickou rovnici s parametrem p.

\[x^2+2px+9=0.\]

Jaká různá řešení má rovnice v závislosti na parametru p? Můžeme rozlišovat celkem tři případy – rovnice nemá řešení v oboru reálných čísel, rovnice má dvě stejná řešení a rovnice má dvě různá řešení. Tyto případy rozlišíme pomocí diskriminantu.

Parametr se chová jako konstanta, tj. pro předchozí kvadratickou rovnici platí, že a = 1, b = 2p a c = 9. Nyní vypočítáme diskriminant tak, jak jsme zvyklí:

\[D=b^2-4ac=4p^2-4\cdot1\cdot9=4p^2-36.\]

Takže diskriminant nám vyšel D = 4p2 − 36. Nyní musíme zjistit, kdy je tento diskriminant kladný, záporný a nulový.

Začněme nejjednodušším případem, kdy je diskriminant nulový. Řešíme tak najednou rovnici 4p2 − 36 = 0. Pro jaká p to platí? Toto je ryze kvadratická rovnice a řeší se lehce:

\[\begin{eqnarray}4p^2-36&=&0\\p^2-9&=&0\\p^2&=&9\\p&=&\pm3\end{eqnarray}\]

V případě, že je parametr p roven plus nebo minus tři, pak má kvadratická rovnice jedno dvojnásobné řešení.

Nyní vyřešíme, kdy je diskriminant kladný. Řešíme tak kvadratickou nerovnici

\[4p^2-36>0.\]

Už známe nulové body funkce f(p) = 4p2 − 36, to jsme vypočítali v předchozím kroku. Z nich poskládáme dva intervaly, jeden „vnitřní“ a druhý „vnější“.

\[\begin{eqnarray}I_1&=&(-\infty,-3)\cup(3, \infty)\\I_2&=&(-3, 3)\end{eqnarray}\]

V jednom z těchto intervalů je funkce f(p) kladná, ve druhém záporná. Zjistíme to tak, že dosadíme do funkce nějaký bod z jednoho z intervalů. Nejjednodušší je dosadit z intervalu I2 nulu. Platí, že f(0) = 0 − 36 = −36. V intervalu I2 je tak funkce záporná, v intervalu I1 je kladná.

Z toho dostáváme, že v intervalu I1 má rovnice dvě různá řešení a v intervalu I2 nemá žádné reálné řešení. Můžete si prohlédnout graf funkce f(p) = 4p2 − 36. V bodech plus a minus odmocnina z pěti je nulová, v intervalu I2 je záporná a v intervalu I1 je kladná.

Graf funkce f(p)=4p^2-36Graf funkce f(p) = 4p2 − 36

Dopočítání kořenů rovnice #

Nyní nám zbývá dopočítat řešení rovnice v těch případech, kdy rovnice řešení má. Začneme případem, kdy má rovnice jeden dvojnásobný kořen, tedy když je diskriminant rovný nule. To je v případě, kdy je parametr rovný plus nebo minus odmocnině z devíti.

Případ první, p = 3. Rovnice má pak tvar:

\[x^2+2\cdot3x+9=0.\]

Vypočítáme diskriminant této rovnice. Měl by nám vyjít nulový:

\[D=b^2-4ac=6^2-4\cdot1\cdot9=36-36=0.\]

Dopočítáme kořen podle vzorce:

\[x=\frac{-b\pm\sqrt{0}}{2a}=\frac{-6}{2}=-3.\]

Případ druhý, p = −3. Rovnice má tvar:

\[x^2-2\cdot3x+9=0.\]

Spočítáme diskriminant:

\[D=b^2-4ac=(-6)^2-4\cdot1\cdot9=36-36=0.\]

Dopočítáme kořen:

\[x=\frac{-b\pm\sqrt{0}}{2a}=\frac{6}{2}=3.\]

V posledním kroku už jen dopočítáme, jaká řešení má rovnice, pokud je parametr z množiny \((-\infty,-3)\cup(3, \infty)\). Diskriminant máme spočítaný, takže dopočítáme kořeny rovnice podle vzorce.

\[x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{4p^2-36}}{2}=\frac{-b\pm\sqrt{4(p^2-9)}}{2}=\frac{-b\pm2\sqrt{p^2-9}}{2}.\]

Lépe už výraz upravit nejde. Toto jsou tedy kořeny kvadratické rovnice, pokud je parametr z intervalu \((-\infty,-3)\cup(3, \infty)\). Pokud je parametr z intervalu (−3, 3), pak rovnice nemá reálné řešení.

 

Tento web používá k poskytování služeb, personalizaci reklam a analýze návštěvnosti soubory cookie. Používáním tohoto webu s tím souhlasíte. Další informace