PRUMYSL.CZ KONSTRUKTER.CZ 3D-TISK.CZ MATEMATIKA.CZ NOVAMEDIA.CZ

Paradoxy teorie množin

Zobrazit kapitoly článku
  1. Množiny
  2. Množinové operace
  3. Spočetné množiny
  4. Paradoxy teorie množin

Naivní teorie množin obsahuje některé zajímavé paradoxy, které nakonec vedly k vypracování podrobnější teorii množin. Tyto paradoxy se často opírají o fakt, že v klasické, naivní, teorii množin je možné, aby množina obsahovala sebe sama jako svůj prvek.

Russellův paradox #

Mezi nejznámější paradoxy patří Russellův paradox. Ten můžeme definovat takto: mějme množinu N, která obsahuje právě ty množiny, které neobsahují sebe sama jako svůj prvek. Tedy pokud množina obsahuje sebe sama jako svůj prvek, pak nepatří do množiny N. Pokud neobsahuje sebe sama, pak do množiny N patří.

Otázka zní, jestli množina N obsahuje jako svůj prvek množinu N, tedy sebe sama?

Rozborem případů zjistíme, že: pokud množina N neobsahuje N, pak se jedná o množinu, která neobsahuje sebe sama a měla by být v množině N, tedy mělo by platit \(N \in N\).

Pokud ale množina N obsahuje prvek N, tak by nemělo platit \(N \in N\), protože množina N obsahuje jen ty množiny, které neobsahují sebe sama jako svůj prvek.

Paradox je tak v tom, že vždy porušíme některou z podmínek. Pokud \(N \in N\), tak to odporuje definici množiny N (obsahuje jen množiny, které neobsahují sebe sama, tady zjevně N obsahuje N jako svůj prvek) a pokud neplatí, že \(N \in N\), tak opět porušíme definici N.

Takovou množinu tak nemůžeme sestavit, což by se nám ve správné teorii množin nemělo stát.

Russellův paradox má i několik přirozených interpretací. Například paradox holiče. Ve městě je holič, který holí právě ty lidi, kteří neholí sami sebe. Nabízí se otázka, zda holič holí sám sebe?

Cantorův paradox #

Další paradox je Cantorův. Ten se opírá o fakt, že pokud máme množinu M, pak její potenční množina P(M) (množina všech podmnožin množiny M) má vždy vyšší kardinalitu, je větší. V konečných množinách je to vidět na první pohled, pro nekonečné množiny to lze snadno dokázat. Toto tvrzení se ostatně nazývá Cantorova věta a její přesné znění a důkaz naleznete na Wikipedii.

Samotný paradox už je jednodušší než předchozí. Představme si množinu všech množin, označme ji M. Tedy pro jakoukoliv množinu N platí, že \(N \in M\). Ale podle Cantorovy věty platí, že mohutnost potenční množiny P(M) je větší než mohutnost M. To je ale spor s tím, že M obsahuje všechny množiny – pokud je množina P(M) větší než M, musí nutně obsahovat prvky, které množina M neobsahuje.

 

Tento web používá k poskytování služeb, personalizaci reklam a analýze návštěvnosti soubory cookie. Používáním tohoto webu s tím souhlasíte. Další informace