PRUMYSL.CZ KONSTRUKTER.CZ 3D-TISK.CZ MATEMATIKA.CZ NOVAMEDIA.CZ

Nevlastní limita ve vlastním bodě

Zobrazit kapitoly článku
  1. Limita funkce
  2. Nevlastní limita ve vlastním bodě
  3. Vlastní limita v nevlastním bodě
  4. Nevlastní limita v nevlastním bodě
  5. Jednostranná limita
  6. L'Hospitalovo pravidlo

Limita funkce je jedním z nejdůležitějších pojmů matematické analýzy. Popisuje chování nějaké funkce v okolí určitého bodu, díky čemu můžeme například definovat spojitost funkce. Limita funkce nám pomůže pochopit chování funkce i v místech, ve kterých není vůbec definovaná.

Nevlastní limita ve vlastním bodě #

V předchozí části jsme se bavili o vlastní limitě ve vlastním bodě. Bod x0 je vlastní, pokud \(x_0 \in \mathbb{R}\), pokud je to reálné číslo. Ale bodem můžeme myslet i nekonečno – takový bod pak nazveme nevlastní. Rozlišujeme plus a minus nekonečno: +∞, −∞. Nevlastní limita ve vlastním bodě tak znamená, že máme nějakou funkci f, vlastní bod x0 a limita v tomto bodě nám vyjde nekonečno. Příkladem takové funkce může být \(f(x)=|\frac{1}{x}|\). Graf:

Graf funkce f(x)=|\frac{1}{x}|Graf funkce \(f(x)=|\frac{1}{x}|\)

Ve vlastním bodě x0 = 0 má funkce limitu plus nekonečno – ať už se k x přibližujeme z kterékoliv strany, vždy nám hodnota roste do nekonečna. Nechť x0 je hromadným bodem definičního oboru funkce f. Funkce f má v bodě x0 limitu +∞, pokud

\[(\forall K\in\mathbb{R})\,(\exists\delta > 0)\,(\forall x\in D(f))\,(0 < |x-x_0| < \delta\Rightarrow f(x) > K)\]

a −∞ pokud

\[(\forall K\in\mathbb{R})\,(\exists\delta>0)\,(\forall x\in D(f))\,(0 < |x-x_0| < \delta\Rightarrow f(x) < K).\]

Pokud je definice splněna, můžeme napsat

\[\lim_{x\rightarrow x_0}f(x)=\pm\infty.\]

Co nám definice říká? Proměnná K představuje, v první definici, jakousi hranici na ose y. Definice pak říká, že ať zvolíme jakkoliv velkou (vysokou) hranici K, vždy najdeme nějaké δ-okolí bodu x0, přičemž pro všechny prvky z tohoto okolí bude platit, že mají funkční hodnotu větší než K.

Pro příklad si zkusíme ukázat definici na předchozí funkci – budeme hledat limitu v bodě x0 = 0. Zvolíme K = 4:

Graf funkce f(x)=|1/x| a hranicí KGraf funkce f(x) = |1/x| a hranicí K

Nyní musíme najít takovou hodnotu δ, aby všechny body z intervalu \((-\delta, 0) \cup (0, \delta)\) měly funkční hodnotu větší než K. Můžeme zvolit například δ = 0, 2. Když to zakreslíme do obrázku, dostaneme:

Graf funkce f(x)=|1/x| a hranicí K a okolím \deltaGraf funkce f(x) = |1/x| a hranicí K a okolím δ

Vidíme, že funkční hodnoty, které jsou v intervalu \((-\delta, 0) \cup (0, \delta)\) se nachází nad hodnotou K. Můžeme si to také spočítat. Pro hodnotu x = −0, 2 dostáváme f(−0, 2) = |−1/0, 2| = 5. Funkce je v záporných číslech rostoucí, takže pro všechna x z intervalu (−0, 2; 0) bude bude funkční hodnota určitě větší než pět a tedy i větší než K = 4. Podobně pro druhý interval.

Teď jsme to ukázali jen pro jedno konkrétní K. Pokud má mít funkce limitu v nekonečnu, musí to platit pro jakékoliv K. Zkusíme si to dokázat. Protože f(x) = f(−x) (funkce je sudá), stačí, když budeme počítat pouze s kladnou variantou, tj. s omezíme se na interval (0, ∞).

Máme dané nějaké K a my musíme najít takové δ, aby platilo, že pro všechna \(x \in (0, \delta)\) je f(x) > K. Protože je funkce v kladném intervalu klesající, stačí, když nalezneme takové δ, pro které platí f(δ) > K. Pak to bude jistě platit i pro všechna \(x \in (0, \delta)\). Nyní řešíme tuto nerovnici: f(δ) > K, po dosazení:

\[\frac{1}{\delta} > K.\]

Celou nerovnici nyní vynásobíme δ. Hodnota δ je z definice vždy kladná, takže si to můžeme dovolit. Dostaneme:

\[1 > \delta\cdot K\]

Uvažujme nyní, že K > 0. Pro K ≤ 0 je důkaz triviální, protože f(x) > 0 pro všechna x. Nyní můžeme celou rovnici vydělit K:

\[\frac{1}{K}>\delta.\]

To je výsledek. Pokud budeme mít zadané K, hodnotu δ nalezneme tak, že vezmeme jakékoliv číslo, které je menší než hodnota 1/K (a větší než nula, podle definice) a získáme náš interval (0, δ).

V předchozím případě jsme měli K = 4. Pokud si dosadíme, tak zjistíme, že 1/4>δ. Delta musí být menší než jedna čtvrtina. My jsme zvolili 0, 2, jednu pětinu a vyšlo nám to správně.

 

Tento web používá k poskytování služeb, personalizaci reklam a analýze návštěvnosti soubory cookie. Používáním tohoto webu s tím souhlasíte. Další informace