Mocniny a odmocniny

Umocňování je matematická funkce, která, jednoduše řečeno, slouží ke zkrácenému zápisu opakovaného násobení.

Přirozený exponent #

Umocňování má tvar an, kde výrazu n říkáme exponent a výrazu a říkáme základ. Dále nás bude zajímat především tvar exponentu. V této části si ukážeme, jaké má vlastnosti mocnina s přirozeným exponentem, tedy když je exponent číslo 1, 2, 3, 4, …

Příkladem takové mocniny je 62. Šestka je základ, dvojka je exponent. Exponent nám říká, kolikrát za sebou máme vynásobit šestku, abychom získali výsledek. Takže platí 62 = 6 · 6 = 36. Jiný příklad 43 = 4 · 4 · 4 = 64. Obecně bychom to mohli zapsat takto:

\[a^n = \underbrace{a\cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{n\mbox{-krat}}\]

Základem může být cokoliv – číslo, ale klidně i složitější výraz. Během výpočtu pak jen daný výraz vynásobíte tolikrát, kolikrát udává exponent. Příklady:

\[\begin{eqnarray}(-5)^3&=&(-5)\cdot(-5)\cdot(-5)\\x^4&=&x\cdot x\cdot x\cdot x\\(x+3)^2&=&(x+3)\cdot(x+3)\end{eqnarray}\]

Pro exponent, který je rovný nule, zavádíme rovnost a0 = 1.

Záporný exponent #

V této části budeme předpokládat, že exponent bude záporný. Jaká by mohla být interpretace? Vyjdeme z toho, že a0 = 1. Pokud chceme vypočítat a1, pak bychom mohli říci, že vynásobíme a0 výrazem a. Protože a0 = 1, tak součinem získáme a0 · a = a. Získáme a. Pokud budeme chtít vypočítat a2, můžeme napsat a2 = a0 · a · a.

O hodnotě a0 = 1 můžeme říci, že je to naše výchozí hodnota a když počítáme an, tak jen n-krát vynásobíme hodnotu a0 výrazem a. Jak bychom postupovali, pokud by n bylo záporné? Pokud je n kladné, tak násobíme. Pokud je n záporné, tak budeme dělit. Takže a−1 bychom získali tak, že bychom vzali počáteční hodnotu a0 a tuto hodnotu bychom podělili výrazem a. Dostáváme tak rovnici:

\[a^{-1}=\frac{a^0}{a}=\frac1a\]

Pokud bychom chtěli znát a−2, vydělili bychom a0 výrazem a dvakrát. Co bychom získali? Nejprve si řekneme, jak můžeme jinak zapsat dělení. Pokud máme podíl x/y, můžeme to stejně tak napsat jako

\[x\cdot\frac1y\]

Je to jedna ze základních vlastností zlomků. Takže pokud chceme nějaký výraz x dvakrát vydělit výrazem y, můžeme to napsat jako

\[x\cdot\frac1y\cdot\frac1y\]

Vraťme se k příkladu a−2. Řekli jsme, že to získáme tak, že výraz a0 dvakrát vydělíme a. To dále upravíme takto:

\[a^{-2}=a^0\cdot\frac{1}{a}\cdot\frac1a=a^0\frac{1}{a\cdot a}=1\cdot\frac{1}{a^2}=\frac{1}{a^2}\]

V tuto chvíli už máme postup, jak vypočítat mocninu se záporným exponentem. Vypočítáme mocninu, jako by byl exponent kladný a následně jen převrátíme hodnotu vydělením jedna lomena výsledek umocnění. Zapsáno přesněji:

\[a^{-n}=\frac{1}{a^n}\]

(Zde předpokládáme, že −n je záporné číslo, tedy n je kladné.)

Takže několik příkladů:

\[\begin{eqnarray}2^{-1}&=&\frac{1}{2^1}=\frac12\\5^{-3}&=&\frac{1}{5^3}=\frac{1}{125}\\(2x+3)^{-8}&=&\frac{1}{(2x+3)^8}\end{eqnarray}\]

Racionální exponent #

Exponent dále můžeme rozšířit pro všechna racionální čísla. Racionální číslo je takové číslo, které lze vyjádřit ve formě zlomku, podílu dvou celých čísel. Mějme tak zlomek ve tvaru m/n, kde n je kladné číslo. Pak můžeme napsat vzorec

\[\Large a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}\]

Ten klikyhák nad am je znak pro odmocninu.

Vlastnosti mocnin #

  • a0 = 1, pokud \(a \ne 0\).
  • a1 = a.
  • 0n = 0, pokud n > 0.
  • 00 je nedefinovaný výraz.
  • (a · b)n = an · bn.
  • am · an = am + n.
  • \(\Large \frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}\), pokud \(a \ne 0\).
  • (am)n = am · n.