Množiny

Zobrazit kapitoly článku
  1. Množiny
  2. Množinové operace
  3. Spočetné množiny
  4. Paradoxy teorie množin

Množina se dá chápat jako soubor prvků. Každá množina tedy obsahuje určitý počet prvků, který může být konečný nebo nekonečný. Též nemusí obsahovat prvek žádný, poté mluvíme o prázdné množině. Množinu obvykle značíme velkým tiskacím písmenem, například M, a prvky množiny malým písmenem m.

Co je to množina #

Množina je jeden ze základních pojmů v matematice, skrze který se definuje hromada dalších věcí, takže je dobré si hned na začátku ujasnit, co to množina je, abyste dále v učení netápali.

Množina je tedy nějaký soubor libovolných prvků. V matematice nejčastěji pracujeme s číselnými množinami, tedy s množinami, jejichž prvky jsou čísla. Klasický zápis množiny v matematice je takový:

\[M=\left\{1,2,3\right\}\]

Tímto jsme popsali množinu s názvem „M“, která obsahuje tři prvky, jedničku, dvojku a trojku. Množiny vždy zapisujeme do složených závorek, prakticky vždy když uvidíte složené závorky, jedná se o nějakou množinu.

K čemu můžeme množiny používat? Množiny nám často určují, jaké prvky si můžeme vybírat. Například v běžném životě byste mohli říct něco jako „Anežko, zahrajeme si hru, jo? Mysli si číslo od jedné do pěti.“ tím jste Anežce vymezili nějaký interval čísel, ze kterých si může vybrat. V matematice byste k tomu použili množinu:

\[L=\left\{1,2,3,4,5\right\}\]

A pak byste Anežce mohli říci „Anežko, zahrajeme si hru, jo? Mysli si nějaké číslo, které je obsažené v množině L.“ Určitě by ta hra byla hned zábavnější. V matematice používáme k zápisu, že prvek patří do množiny znak \(\in\) a když nepatří, použijeme \( \notin\). Pokud tak chceme říci, že jednička patří do množiny L, ale sedmička ne, zapsali bychom to takto: \(1 \in L\) a \(7 \notin L\).

Množina může být pochopitelně prázdná, k tomu slouží buď zápis P = {} nebo jednodušeji \(P=\emptyset\). Pozor na to, že oba zápisy znamenají „prázdná množina“, pokud byste to zapsali takto: \(P=\left\{\emptyset\right\}\), tak byste zapsali množinu, která v sobě obsahuje prázdnou množinu. Není to totéž jako prázdná množina.

Neuspořádanost a duplicity #

O množině neříkáme, že má prvky nějak uspořádané. Množina obsahuje neuspořádaný soubor prvků. Pokud bychom měli dvě množiny A = {1, 2, 3} a B = {3, 2, 1} tak řekneme, že jsou stejné. Na pořadí prvků v množině zkrátka nezáleží.

Stejně tak nás nezajímají duplicitní prvky. Pokud množina obsahuje více stejných prvků (více stejných čísel), tak bereme v potaz vždy pouze jediný výskyt daného prvku. Opět, pokud bychom měli tyto dvě množiny A = {1, 1, 2, 2, 2} a B = {2, 1} tak bychom je považovali za stejné. Nevadí, že množina A obsahuje „více“ prvků, protože obsahuje zdvojené či ztrojené prvky. Při počítání s množinami tyto zdvojené prvky zkrátka vyfiltrujeme.

Velikost a rovnost #

Můžeme definovat pojem velikost množiny, což je počet prvků v množině. Z předchozího příkladu A = {1, 1, 2, 2, 2} a B = {2, 1} by tak platilo, že velikost množiny A je dva, ale velikost množiny B je také dva, protože ani při počítání prvků množiny nás nezajímají duplicitní prvky. Velikost množiny značíme do svislých čar: |A| = |B| = 2.

Jak už jste asi pochopili, dvě množiny se rovnají, pokud mají obě množiny stejné prvky. Pár příkladů:

\[\begin{eqnarray}\left\{1, 2, 3\right\}&=&\left\{1, 2, 3\right\}\\\left\{1, 2, 3\right\}&=&\left\{1, 2, 3, 2, 3, 1\right\}\\\left\{a, h, o, j\right\}&=&\left\{o, o, h, j, a, o\right\}\\\left\{1, 3, 5, 9\right\}&\ne&\left\{1, 3, 9\right\}\\\emptyset&\ne&\left\{x\right\}\end{eqnarray}\]

Podstatnou vlastností je, že množiny mohou obsahovat jako svůj prvek znovu množinu. Příklad: C = {1, 2, {3, 4, 5, 6}}. Je důležité si uvědomit, že množina C je tříprvková, ne šesti. Množina C obsahuje tři prvky: jedničku, dvojku a množinu. Ty prvky 3, 4, 5 a 6 obsahuje vnitřní množina, ne množina C. Takže platí |C| = 3. Složitější příklad:

\[D=\left\{0, \left\{1, \left\{2, 3\right\}\right\}, \left\{4\right\}\right\}\]

Kolik prvků obsahuje množina D? Obsahuje tři prvky, jsou to tyto prvky:

\[D_1=0,\qquad D_2=\left\{1, \left\{2,3\right\}\right\},\qquad D_3=\left\{4\right\}\]

Množina může být konečná nebo nekonečná. Konečné množiny jsou všechny, které jsme zatím zmínili. Nekonečná je například množina všech čísel.

Podmnožina #

Mějme dvě množiny A = {1, 2} a B = {1, 2, 3}. tyto množiny jsou různé, protože neobsahují stejné prvky, množina B je větší. Nicméně jste si jistě všimli, že množina B obsahuje přesně tytéž prvky jako množina A, jen má navíc prvek 3. V tuto chvíli můžeme říct, že A je podmnožinou B.

Pokud je A podmnožinou B, pak musí platit, že všechny prvky které obsahuje množina A, musí obsahovat také množina B. Být podmnožinou je relace a zapisujeme ji pomocí symbolu \(\subseteq\). Formální definice:

\[A \subseteq B \Leftrightarrow \forall x \in A:\quad x \in B\]

Obyčejně se předpokládá, že množiny A a B mohou být stejné a stejně bude platit \(A \subseteq B\). Pokud chceme vyjádřit ostrou variantu podmnožiny, použijeme jiný symbol: \( \subset\). Pak platí, že pokud \(A \subset B\), pak musí být množina B větší (pokud je konečná), musí obsahovat prvek, který množina A neobsahuje. Takové množině pak říkáme „vlastní podmnožina“. Tedy pokud \(A \subset B\), pak A je vlastní podmnožina B. Definice vlastní podmnožiny:

\[A \subset B \Leftrightarrow (A\subseteq B \quad\wedge\quad A \ne B)\]

Definice je stejná jako v případě klasické podmnožiny, jen se obě množiny nesmí rovnat. Několik příkladů:

\[\begin{eqnarray}\left\{a, h, o\right\}&\subseteq&\left\{a, h, o, j\right\}\\\left\{a, h, o\right\}&\subset&\left\{a, h, o, j\right\}\\\left\{2, 4, 6\right\}&\subseteq&\left\{2, 4, 6, 8, \ldots\right\}\\\left\{2, 4, 6\right\}&\subset&\left\{2, 4, 6, 8, \ldots\right\}\\\left\{1, 2, 3\right\}&\not\subseteq&\left\{1, 3\right\}\\\left\{1, 2, 3\right\}&\not\subset&\left\{1, 3\right\}\\\left\{0, 1\right\}&\subseteq&\left\{0, 1\right\}\\\left\{0, 1\right\}&\not\subset&\left\{0, 1\right\}\\\emptyset&\subseteq&\left\{\pi\right\}\\\emptyset&\subset&\left\{\pi\right\}\\\emptyset&\subseteq&\left\{\emptyset\right\}\\\emptyset&\subset&\left\{\emptyset\right\}\\\left\{0\right\}&\not\subseteq&\emptyset\\\left\{0\right\}&\not\subset&\emptyset\\\left\{\diamond, \bigtriangleup, \odot, \ddagger, \wr\right\}&\subseteq&\left\{\diamond, \bigtriangleup, \odot, \ddagger, \wr, \star, \bullet, \mp\right\}\\\left\{\diamond, \bigtriangleup, \odot, \ddagger, \wr\right\}&\subset&\left\{\diamond, \bigtriangleup, \odot, \ddagger, \wr, \star, \bullet, \mp\right\}\end{eqnarray}\]

Vlastnosti podmnožiny:

  • \(A \subseteq A\): množina je vždy svou podmnožinou.
  • \(A \not\subset A\): množina nikdy není svou vlastní podmnožinou.
  • \(\emptyset \subseteq A\): prázdná množina je podmnožina jakékoliv množiny.
  • \(A \not\subset \emptyset\): prázdná množina nemá žádnou vlastní podmnožinu.

Pomocí podmnožin můžeme zapsat rovnost množin:

\[A = B \quad\Leftrightarrow\quad A \subseteq B \wedge B \subseteq A\]

Pokud jsou obě množiny stejné, pak je jedna druhé podmnožinou.

Podmnožinu můžeme také označit slovem „inkluze“.

Potenční množina #

Potenční množina je množina všech podmnožin dané množiny. Značí se obvykle buď P(M) nebo 2M.

Příklad: M = {1, 2, 3}. Jaké jsou všechny podmnožiny? Určitě je to prázdná podmnožina a samotná množina M. Dále: {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}. Všechny tyto množiny tvoří potenční množinu množiny M. Zapíšeme: \(P(M) = \left\{\emptyset, M, \left\{1\right\}, \left\{2\right\}, \left\{3\right\}, \left\{1, 2\right\}, \left\{1, 3\right\}, \left\{2, 3\right\}\right\}\).

Protože prázdná množina je podmnožinou každé množiny a M je vždy podmnožinou M, tak bude vždy platit, že \(\emptyset \in P(M)\) a \(M \in P(M)\).

Jak zapsat množinu #

Jeden způsob už jsme zmínili, prostým výpisem prvků. Používáme k tomu složené závorky. M = {1, 2, 3} nebo N = {a, b, c, d} apod. Pokud zapisujeme nekonečnou množinu, můžeme k tomu použít tři tečky, pokud je zřejmé, jak bude posloupnost prvků pokračovat: M = {1, 2, 3, …}

Hlavním způsobem, jak zapsat množinu, je charakteristická vlastnost množiny. Obecně by zápis vypadal takto: \(\left\{x \in X | P(x)\right\}\), kde X je množina, ze které vybíráme prvky a P(x) je nějaká formule, která specifikuje prvky množiny. Formule může být zapsána čistě matematicky nebo slovně. Místo „|“ se také používá středník: „;“.

Například „nechť množina M obsahuje všechna čísla, která označují nějaký den v měsíci“. Měsíc má maximálně 31 dní, takže taková množina by měla 31 prvků, od 1 do 31. Mohli bychom ji zapsat pomocí trojtečky takto: M = {1, 2, 3, …, 30, 31}. Další zápis stejné množiny by mohl vypadat takhle: \(\left\{x \in \mathbb{Z} | \mbox{x oznacuje den v mesici}\right\}\), kde \(\mathbb{Z}\) označuje množinu celých čísel.

Více matematický příklad by mohl znít „nechť množina P obsahuje všechna kladná čísla, která jsou dělitelná pěti“. Pak by ta množina vypadala takto: P = {5, 10, 15, 20, 25, …}

Zkusíme si matematicky zapsat množinu T přirozených čísel, která jsou menší než deset: \(T = \left\{x \in \mathbb{N} | x<10\right\}\). Tento zápis nám říká: množina T se skládá z prvků x, které bereme z množiny přirozených čísel a která splňují podmínku, že jsou menší než 10. Tak se koukneme na přirozená čísla a vrátíme jen ta, která jsou menší než deset: {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. A to je vše.

Další příklad: \(Y = \left\{x \in \mathbb{Z} | x \ne 0\right\}\). Nadefinovali jsme množinu Y, která obsahuje prvky x, které bereme z celých čísel a jedinou podmínku, kterou x musí splňovat je, že nesmí být nula. Množina Y tak obsahuje všechna celá čísla kromě nuly.

Další příklad: \(G = \left\{x \in \mathbb{R} | x \cdot x = x\right\}\). Množina G obsahuje prvky x, které bereme z reálných čísel a pro všechny prvky x musí platit, že když je vynásobíme se sebou samými, tak dostaneme opět číslo x. Například můžeme zkusit číslo 5. Podle definice má platit tato rovnost: 5 · 5 = 5. To zjevně neplatí, takže číslo 5 nebude prvkem množiny G. Zkusíme jedničku: 1 · 1 = 1. Pro ni to evidentně platí, takže jednička bude prvkem množiny G. Druhým, a zároveň posledním, prvkem bude číslo nula. Pro žádné další už to platit nebude. Můžeme tak napsat: G = {0, 1}.

A poslední příklad. Napíši něco složitějšího, abyste viděli, že charakteristická vlastnost může být i složitá:

\[X=\left\{x \in \mathbb{R} | (x^2=2x)\vee(sin(x)=\pi\wedge cos(x)=\pi)\right\}\]

Množina je v praxi nejčastěji definována charakteristickou vlastností a dá se říci, že dost velká část pojmů v matematice je definována pomocí množin. Když si vezmeme takový interval, tak můžeme říci, že interval (a, b) je množina I, pro kterou platí:

\[I=\left\{x\in\mathbb{R} | (x > a) \wedge (x < b)\right\}\]

Jsou to všechny prvky z množiny reálných čísel, která jsou větší než a a menší než b, což je přesně to, co interval vyjadřuje.

Další zdroje #