Sjednocení, průnik, rozdíl a doplněk množin

Zobrazit kapitoly článku
  1. Množiny
  2. Množinové operace
  3. Spočetné množiny
  4. Paradoxy teorie množin

Mezi množinami můžeme provádět různé množinové operace. Mezi nejzákladnější patří sjednocení, průnik, rozdíl a doplněk.

Sjednocení množin #

Sjednocení množin označujeme symbolem \(\cup\), tedy sjednocení množin A a B označíme klasicky: \(A \cup B\). Sjednocením množin A a B vznikne nová množina, která bude obsahovat všechny prvky z množiny A a také všechny prvky z množiny B. Definice:

\[A \cup B = \left\{x | x \in A \vee x \in B\right\}\]

Ukázkový příklad: Mějme dvě množiny A = {1, 3, 5, 7} a B = {2, 4, 6}. Sjednocením vznikne množina: \(A \cup B = \left\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\right\}\). Výsledná množina obsahuje prvky obou množin.

Další příklad: A = {1, 2, 3} a B = {2, 3, 4}. Sjednocením dostaneme: \(A \cup B = \left\{1, 2, 3, 4\right\}\). Prvky 2 a 3 nebudou ve výsledné množině dvakrát, protože množina neobsahuje jeden prvek vícekrát.

Další vlastnosti:

  • \(A \cup A = A\): pokud sjednotíme dvě stejné množiny, dostaneme zase tutéž množinu.
  • \(A \cup B = B \cup A\): sjednocení je komutativní, nezáleží na pořadí.
  • \(A \cup \emptyset = A\): prázdná množina neobsahuje žádný prvek, takže není co sjednocovat.

Průnik množin #

Průnikem dvou množin A a B vznikne nová množina, která bude obsahovat prvky, které mají ty dvě množiny společné. Přesněji bychom řekli, že nová množina bude obsahovat prvky, které náleží do A a zároveň náleží do B. Průnik označujeme symbolem \(\cap\). Definice:

\[A \cap B = \left\{x | x \in A \wedge x \in B\right\}\]

Příklad: A = {1, 3, 5, 7, 9} a B = {4, 5, 6, 7}. Průnik je roven \(A \cap B = \left\{5, 7\right\}\). Další příklad: A = {a, b, c, d, e} a B = {f, g, h, i, j}. Průnik je roven: \(A \cap B = \emptyset\). Tyto množiny nemají žádný společný prvek, takže průnikem je prázdná množina.

Další vlastnosti:

  • \(A \cap A = A\): průnikem dvou stejných množin dostaneme zase stejnou množinu.
  • \(A \cap B = B \cap A\): průnik je komutativní, nezáleží na pořadí.
  • \(A \cap \emptyset = \emptyset\): prázdná množina neobsahuje žádný prvek, takže určitě nemá žádný stejný prvek jako množina A.

Množinové operace můžeme znázornit diagramem. Můžete si prohlédnout tento veselý diagram, který představuje možnosti kluka, který chce sbalit nějakou holku :-).

Svět ženSvět žen

Rozdíl množin #

Rozdíl množin značíme standardním symbolem pro minus anebo lépe takovým šikmým minus \(\setminus\). Rozdílem dvou množin A a B chápeme takovou množinu, která bude obsahovat všechny prvky z A a zároveň nebude obsahovat žádný prvek z B. Zkrátka se kouknete, které prvky má první množina společná s druhou a ty poté odstraníte. Definice:

\[A \setminus B = \left\{x \in A | x \notin B\right\}\]

Příklad: A = {1, 2, 3, 4, 5} a B = {4, 5, 6, 7, 8}. Rozdíl pak bude roven \(A \setminus B = \left\{1, 2, 3\right\}\). Jsou to ty prvky, které nám zůstanou, když z množiny A odstraníme všechny prvky, které jsou v množině B. Další příklad: A = {a, b, d, e}. Rozdíl \(A \setminus A = \emptyset\).

Další vlastnosti:

  • \(A \setminus A = \emptyset\): podobně jako když od sebe odečteme dvě stejná čísla, tak dostaneme nulu (např. 5 − 5 = 0), tak když odečteme dvě stejné množiny, dostaneme prázdnou množinu.
  • \(A \setminus \emptyset = A\): prázdná množina neobsahuje žádný prvek, takže z množiny A nemůžeme odebrat žádný prvek.

Doplněk množiny #

Doplněk množiny A se značí všelijak, ale asi nejčastěji čárkou A nebo horním pruhem: \(\overline{A}\). Pro jednoduchost budu používat čárku. Abychom spočítali doplněk množiny A, potřebujeme vědět, v jaké množině ten doplněk počítáme. Doplněk množiny totiž představuje všechny prvky, které nejsou v množině A, takže se jedná o jakýsi opak množiny A.

Máme-li jako hlavní množinu M = {1, 2, 3, …, 9, 10}, pak doplněk množiny A = {2, 4, 6, 8, 10} v M je množina A’ = {1, 3, 5, 7, 9}. Obsahuje všechny prvky z M, které nejsou v A. Můžeme říci, že A v M je rovno \(M \setminus A\).

Pokud si za hlavní množinu vezmeme celá čísla, pak doplněk množiny sudých čísel budou lichá čísla. Doplněk množiny A = {1, 2, 3, 4} bude množina A’ = {…, −3, −2, −1, 0, 5, 6, 7, …}.

Pro doplněk platí, že aplikujme-li ho dvakrát, získáme zpět původní množinu. Například na celých číslech: doplněk k sudým číslům jsou lichá čísla. A doplněk k lichým číslům jsou zase sudá čísla. takže platí A = A’’ (doplněk doplňku A).