Mnohočleny

Mnohočlen je výraz, který obsahuje proměnnou x a standardní operace sčítání, násobení a mocnění na celočíselný exponent. Tyto mnohočleny pak také můžeme sčítat, odečítat, násobit, dělit a umocňovat. Mnohočleny nazýváme také polynomy.

Základní vztahy #

Příkladem jednoduchého mnohočlenu může být mnohočlen:

\[2x^2+5x-12\]

Obecně bychom mohli mnohočlen zapsat takto

\[a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_1x^1+a_0x^0,\]

kde reálná čísla před x, tj an se nazývají koeficienty a n se nazývá stupeň mnohočlenu. Číslo n odpovídá nejvyšší mocnině mnohočlenu, kde \(a_n\ne0\). Pokud by bylo an rovno nule, potom bychom v podstatě zrušili proměnnou x, ke které koeficient náleží, neboť x na cokoliv je nula:

\[0^3=0.\]

Takže v případě prvně zmíněného mnohočlenu platí, že stupeň mnohočlenu je dva, protože nejvyšší nenulová mocnina proměnné x je dva. V případě jiného mnohočlenu

\[7x^2+5x^4+15x\]

by platilo, že stupeň mnohočlenu je 4 (nejvyšší exponent je 4). Obvykle zapisujeme polynomy sestupně vzhledem k použitým exponentům, abychom na prvním místě měli člen s nejvyšší mocninou. Takže předchozí mnohočlen můžeme přepsat takto:

\[5x^4+7x^2+15x.\]

Vidíme, že v mnohočlenu chybí člen, jehož proměnná by měla exponent tři a nula. To vůbec nevadí, zkrátka si představíme, že koeficient u těchto členů je nulový. Můžeme totiž napsat

\[5x^4+0x^3+7x^2+15x^1 + 0x^0.\]

Sice už tam máme všechny členy, ale polynom je zbytečně nepřehledný. Nulové členy tak obvykle vynecháváme.

Sčítání a odečítání mnohočlenů #

Sčítání a odečítání mnohočlenů je celkem jednoduchá záležitost. Vždy jen sčítáme nebo odečítáme koeficienty u členů se stejným exponentem. Tedy platí

\[ax^n+bx^n=(a+b)x^n.\]

Jednoduchý příklad:

\[3x^2+5x^2=(3+5)x^2=8x^2\]

Pokud chceme sečíst delší mnohočleny, musíme vždy vybírat členy se stejným exponentem u proměnné.

\[(7x^3+5x^2+x) + (2x^3-3x^2+9x) = (7+2)x^3+(5-3)x^2+(1+9)x.\]

Pokud se člen s daným exponentem v polynomu nevyskytuje, zůstává nezměněn (představte si, že v druhém polynomu je takový člen, ale s nulovým koeficientem).

\[(x^3+2x)+(4x^2+5x+3)=x^3+4x^2+7x+3\]

Odečítání polynomů funguje stejně jako sčítání, pouze druhý polynom vynásobíme minus jedničkou, tj. zaměníme všechna znaménka. Příklad následuje:

\[(3x^2+6x)-(2x^2+14x)=(3x^2+6x)+(-2x^2-14x)\]

A to už je klasické sčítání mnohočlenů, takže to lze sečíst jako vždy:

\[(3x^2+6x)+(-2x^2-14x)=x^2-8x\]

Připomínám, že pokud v mnohočlenu existuje záporný člen, tak se po této úpravě mění na kladný.

\[(x^2+2x)-(3x^2-10x)=(x^2+2x)+(-3x^2+10x)=-2x^2+12x\]

Násobení polynomů #

Při násobení mnohočlenů násobíme každý člen prvního mnohočlenu a každým členem druhého mnohočlenu. Koeficienty násobíme normálně, jako klasická reálná čísla. Exponenty u proměnných naopak pouze sčítáme podle pravidel počítání s mocninami. Takže následuje příklad:

\[(3x^2+4x)\cdot 5x^2=(3\cdot5)x^{2+2}+(4\cdot5)x^{1+2}=15x^4+20x^3\]

Tento příklad ještě pracoval s mnohočlenem o jednom členu, takže neukázal názorně násobení napříč všemi členy mnohočlenu. Drobně rozsáhlejší příklad následuje:

\[(x^3+2x)\cdot(4x^2+7x)=(1\cdot4)x^{3+2}+(1\cdot7)x^{3+1}+(2\cdot4)x^{1+2}+(2\cdot7)x^{1+1}\]

Pokud se v mnohočlenu objevuje znaménko minus, potom se normálně projeví v násobení.

\[(x^3-2x)\cdot(4x^2-7x)=(1\cdot4)x^{3+2}+(1\cdot(-7))x^{3+1}+(-2\cdot4)x^{1+2}+\\+(-2\cdot(-7))x^{1+1}=4x^5-7x^4-8x^3+14x^2\]

Úprava mnohočlenů #

Při úpravě mnohočlenů klasicky chceme, abychom upravili mnohočlen tak, aby byl jednodušší. K tomu používáme věci jako rozšiřování, krácení, vytýkání, aplikaci vzorců a podobně. Tyto vzorce by bylo vhodné znát. Seznam užitečných vzorců lze nalézt jinde. My zde budeme používat některé z nich, které zmíním časem. Klasickým vzorcem, který se používá je vzorec

\[(a+b)^2=a^2+2ab+b^2\]

Pokud by vás zajímalo, jak tento vzorec vznikl, stačí si to roznásobit.

\[(a+b)^2=(a+b)(a+b)=a^2+ab+ba+b^2=a^2+2ab+b^2\]

Začneme nějakým jednoduchým příkladem.

\[(a+b)^2+(a+2b)^2-3a\cdot2b=a^2+2ab+b^2+a^2+4ab+4b^2-6ab=\\=2a^2+5b^2\]

Obě levé závorky jsme roznásobili podle vzorce, který jsem uvedl nahoře. Připomínám, že tu druhou závorku jsme rozložili jako

\[(a+2b)^2=a^2+4ab+4b^2.\]

Dalším klasickým vzorcem je

\[a^2-b^2=(a+b)(a-b).\]

Následuje druhý příklad, tentokrát se zlomkem V čitateli i ve jmenovateli se nachází polynomy a my se je pokusíme upravit tak, aby se celý zlomek dal nějak hezky pokrátit. V prvním kroku v čitateli aplikujeme první vzorec, pouze opačně. Ve jmenovateli aplikujeme druhý vzorec. Na konci pouze pokrátíme (a + b).

\[\frac{a^2+2ab+b^2}{a^2-b^2}=\frac{(a+b)^2}{(a+b)(a-b)}=\frac{(a+b)(a+b)}{(a+b)(a-b)}=\frac{a+b}{a-b}\]

Ve třetím příkladě si zkusíme aplikovat vytýkání. V čitateli nejprve vytkneme 3a3 a následně rozložíme závorku (4a2 − 1) podle vzorce a2 − b2, kde využijeme toho, že

\[1^2=1^1\rightarrow(a^2-1^2)=(a+1)(a-1).\]

Ve jmenovateli pak nejprve jednoduše vynásobíme dva první členy, také vytkneme 3a3 a nakonec vše pokrátíme.

\[\frac{12a^5-3a^3}{2a^2\cdot3a^2+3a^3}=\frac{3a^3(4a^2-1)}{6a^4+3a^3}=\frac{3a^3(2a+1)(2a-1)}{3a^3(2a+1)}=2a-1\]

Další příklady #

Často se také setkáte s dělením mnohočlenů.