PRUMYSL.CZ KONSTRUKTER.CZ 3D-TISK.CZ MATEMATIKA.CZ NOVAMEDIA.CZ

Matice přechodu

Zobrazit kapitoly článku
  1. Vektorové prostory
  2. Příklady vektorových prostorů
  3. Vektorový podprostor
  4. Lineární kombinace vektorů
  5. Lineární obal
  6. Báze vektorového prostoru
  7. Dimenze vektorového prostoru
  8. Matice přechodu

Máme-li vektorový prostor V a dvě jeho báze, můžeme jeden vektor z prostoru vyjádřit jako kombinace vektorů z obou bází. Matice přechodu nám pak pomáhá převádět jedno vyjádření na druhé.

Motivace #

Mějme n-rozměrný vektorový prostor V a dvě jeho různé báze E = {e1, …, en} a F = {f1, …, fn}. Dále zvolme nějaký vektor x z V. Protože x je z prostoru V a protože E i F jsou báze tohoto prostoru, tak musí platit, že existují koeficienty a1, …, an takové, že:

\[\mathbf{x} = a_1 \cdot \mathbf{e}_1 + \ldots + a_n \cdot \mathbf{e}_n\]

a zároveň musí existovat koeficienty b1, …, bn takové, že:

\[\mathbf{x} = b_1 \cdot \mathbf{f}_1 + \ldots + b_n \cdot \mathbf{f}_n\]

V prvním případě vyjadřujeme vektor x pomocí báze E, ve druhém případě pomocí báze F. Používáme dvě různé báze na vyjádření x, získáme tak zároveň dvě různé sady koeficientů ai a bi. Vyvstává otázka: pokud známe koeficienty ai, existuje nějaký způsob, jak z těchto koeficientů získat koeficienty bi, tj. vyjádření vzhledem k druhé bázi?

Ano, slouží k tomu tzv. matice přechodu.

Jak získat matici přechodu #

Zůstaneme u toho, že máme prostor V a dvě báze E = {e1, …, en} a F = {f1, …, fn}. Protože E je báze prostoru V, jak jistě i všechny vektory f1, …, fn půjdou vyjádřit jako lineární kombinace vektorů z báze E. Vektory f1, …, fn jsou sice součástí báze F, ale zároveň jsou běžnými prvky prostoru V, takže musí platit:

\[\begin{eqnarray}\mathbf{f}_1 &=& a_{11} \cdot \mathbf{e}_1 + a_{21} \cdot \mathbf{e}_2 + \ldots + a_{n1} \cdot \mathbf{e}_n\\\mathbf{f}_2 &=& a_{12} \cdot \mathbf{e}_1 + a_{22} \cdot \mathbf{e}_2 + \ldots + a_{n2} \cdot \mathbf{e}_n\\&\ldots&\\\mathbf{f}_n &=& a_{1n} \cdot \mathbf{e}_1 + a_{2n} \cdot \mathbf{e}_2 + \ldots + a_{nn} \cdot \mathbf{e}_n\\\end{eqnarray}\]

My nyní tyto rovnice přepíšeme do matice tak, že v prvním sloupci matice budou všechny koeficienty a1i, ve druhém všechny a2i apod. Dostaneme matici:

\[P=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{21}&\ldots&a_{n1}\\a_{12}&a_{22}&\ldots&a_{n2}\\\ldots\\a_{1n}&a_{2n}&\ldots&a_{nn}\\\end{pmatrix}\]

Taková matice se pak nazývá matice přechodu od báze E k bázi F. Pokud máme vektor x = {x1, …, xn} z V, který má vzhledem k bázi F koeficienty b1, …, bn, pak koeficienty a1, …, an vzhledem k bázi E získáme

\[\begin{pmatrix}a_1\\\vdots \\a_n\end{pmatrix}=P\cdot\begin{pmatrix}b_1\\\vdots \\b_n\end{pmatrix}\]

Příklad #

Budeme pracovat nad vektorovým prostorem \(\mathbb{R}^3\). Zvolíme jednu standardní bázi E = {[1, 0, 0], [0, 1, 0], [0, 0, 1]} a druhou bázi F = {[2, 0, 0], [3, 2, 0], [1, 5, 4]}. Matice přechodu z báze E k bázi F bude mít tvar

\[P=\begin{pmatrix}2&3&1\\0&2&5\\0&0&4\end{pmatrix}\]

Nyní zvolíme libovolný vektor \(\mathbf{x}\in \mathbb{R}^3\), například x = [12, 41, 28]. Ten má koeficienty vzhledem k bázi F a1 = −2, a2 = 3, a3 = 7. Provedeme tak součin matic:

\[\begin{pmatrix}2&3&1\\0&2&5\\0&0&4\end{pmatrix} \cdot\begin{pmatrix}-2\\3\\7\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}12\\41\\28\end{pmatrix}\]

Vzhledem k bázi E má vektor x koeficienty a1 = 12, a2 = 41, a3 = 28. Tedy platí:

\[\left[12,41,28\right] = 12\cdot\left[1,0,0\right]+41\cdot\left[0,1,0\right]+28\cdot\left[0,0,1\right]\]

Odkazy a zdroje #

 

Tento web používá k poskytování služeb, personalizaci reklam a analýze návštěvnosti soubory cookie. Používáním tohoto webu s tím souhlasíte. Další informace