Logaritmické funkce

Logaritmická funkce je inverzní funkce k exponenciální funkci.

Co je to logaritmus #

Logaritmickou funkci zapisujeme slovem \(\log\), pokud se jedná o přirozený logaritmus (viz dále), tak jej značíme ln. Základní předpis logaritmické funkce vypadá takto:

\[y=\log_ax\]

Tento zápis čteme: „Logaritmus čísla x o základu a“. Tato logaritmická funkce je inverzní k exponenciální funkci f(x) = ax. Funkčí hodnota logaritmické funkce se nazývá logaritmus.

Protože je logaritmická funkce inverzní k exponenciální, musí platit následující ekvivalence:

\[\Large y=\log_ax\quad\Leftrightarrow\quad a^y=x\]

Tedy pokud je hodnota ay rovná x, pak je logaritmus x o základu a roven y. Zkusíme si ukázat několik příkladů. Mějme exponenciální rovnici f(x) = 2x. Jak by vypadala inverzní (logaritmická) funkce? Takto: \(f^{-1}(x)=\log_2x\). Pokud do exponenciální funkce dosadíme trojku, získáme: f(3) = 23 = 8.

Jaký vztah nyní musí platit? Musí platit, že pokud do inverzní funkce f−1 vložíme osmičku, musí nám logaritmická funkce vrátit trojku. Protože číslo 3 byl argument exponenciální funkce a číslo 8 byl výsledek. Inverzní funkce se chová obráceně, vstupem je číslo 8 a výstupem je číslo 3. Ověřit si to zatím můžete například na Googlu, že tomu tak opravdu je (lg značí logaritmus o základu dva).

Takže napíšeme-li 23 = 8, pak inverzní logaritmická funkce nám dá vztah: \(\log_28=3\). Co je tedy logaritmus? Logaritmus je exponent, na který musíme umocnit základ, abychom získali argument x.

Důležité logaritmické funkce #

Některé logaritmické funkce jsou obzvláště důležité. Konkrétně se jedná o „přirozený logaritmus“, který má jako základ Eulerovo číslo. To značíme písmenem e. Jedná se o iracionální číslo, tedy o číslo s nekonečným desetinným rozvojem. Jeho přibližná hodnota je: e = 2, 718 281 828…. Přirozený logaritmus zapisujeme buď jako \(\log_ex\) nebo jednodušeji jako \(\ln x\). To písmeno „n“ tam je z latinského „logaritmus naturalis“, ale na zapamatování vám postačí angličtina, kde je to podobné: „natural“ = „přirozený“.

Dalším významným logaritmem je „dekadický logaritmus“, což je logaritmická funkce o základu deset. Obyčejně jej zapisujeme buď jako \(\log_{10}x\) nebo pouze log x. Pokud u logaritmu není uveden základ, předpokládá se základ 10.

Vlastnosti logaritmické funkce #

Jak už víme, logaritmická funkce je inverzní k exponenciální. Díky tomu také přebírá některé její vlastnosti a omezení. Víme, že exponenciální funkce má tvar f(x) = ax, kde a je reálné číslo, které je větší než nula a různé od jedničky. Díky tomu i základ logaritmu a musí být větší než nula a různý od jedničky. Takže ještě jednou zápis logaritmické funkce:

\[y=\log_ax,\quad a\in\mathbb{R},\quad a>0,\quad a\ne1\]

Protože jde o inverzní funkci, pak už také známe definiční obor a obor hodnot. Platí, že definiční obor logaritmické funkce je stejný jako obor hodnot exponenciální funkce, takže definiční obor logaritmické funkce je rovný (0, ∞). Obor hodnot logaritmu je pak stejný jako definiční obor exponenciální funkce, tj. množina všech reálných čísel.

Grafy logaritmických funkcí #

Obdobně jako u exponenciální funkce musíme rozlišovat dva případy. Když je základ a z intervalu (0, 1) a když je z intervalu (1, ∞). V prvním případě, tj. a je z intervalu (0, 1), vypadá graf takto:

Graf logaritmické funkce \log_{\frac12}xGraf logaritmické funkce \(\log_{\frac12}x\)

V případě, že je základ a z intervalu (1, ∞), vypadá graf takto:

Graf logaritmické funkce \log_exGraf logaritmické funkce \(\log_ex\)

Ještě si prohlédněte graf exponenciální a jí inverzní logaritmické funkce v jednom grafu (modrý je logaritmus, červená exponenciální funkce):

Graf funkce y=e^x a y=\log_ex – křivky jsou souměrné podle osy prvního a třetího kvadrantu (šedá přerušovaná čára)Graf funkce y = ex a \(y=\log_ex\) – křivky jsou souměrné podle osy prvního a třetího kvadrantu (šedá přerušovaná čára)

Proč grafy prochází bodem [1, 0] #

Oba grafy protínají osu x v bodě x = 1. To je v pořádku, vzhledem k tomu, že každá exponenciální funkce prochází bodem [0, 1]. Protože logaritmus je inverzní funkce, tak tato funkce musí vždy procházet bodem [1, 0]. Má to svou logiku. Pokud graf prochází bodem [1, 0], znamená to, že pro vstup funkce x = 1 máme výstup f(x) = 0.

V případě logaritmů to znamená, že hledáme exponent, kterým když umocníme základ, tak dostaneme jedničku. Jaký je to exponent? Jedině nulový. Cokoliv na nultou je jedna, proto ať je základ jakýkoliv, tak logaritmická funkce bude procházet bodem [1, 0], protože cokoliv na nultou je jedna. (Poznámka: nezapomeňte, že základ nemůže být úplně jakýkoliv: a>0 a \(a\ne1\).)

Věty o logaritmech (vzorce) #

Následují některé důležité vztahy a vzorce, které o logaritmech můžeme říci:

Předpokládejme, že základ a je opravdu základ logaritmu, tj. a>0, \(a\ne1\). Dále nechť x1 a x2 jsou libovolná kladná reálná čísla. Pak platí:

\[\begin{eqnarray}\log_a(x_1\cdot x_2)&=&\log_a x_1+\log_a x_2\\\log_a\left(\frac{x_1}{x_2}\right)&=&\log_a x_1 - \log_a x_2\\\log_a x^r&=&r\cdot\log_ax\quad\forall r\in\mathbb{R}\\\log_a\sqrt[n]{x}&=&\frac{1}{n}\log_ax\quad\forall n\in\mathbb{N}\end{eqnarray}\]

Některé vztahy, které přímo vyplývají z definice logaritmu:

\[\begin{eqnarray}\log_a1&=&0\quad(a^0=1)\\\log_aa&=&1\quad(a^1=a)\\a^{\log_a x} &=& \log_a{a^x} = x\end{eqnarray}\]

Jak pomocí přirozeného logaritmu vyjádřit jiný logaritmus #

Občas se stává, že například na kalkulačce nemáme k dispozici logaritmus o libovolném základu, ale jen přirozený a dekadický. Co dělat v případě, že potřebujete vypočítat logaritmus o jiném základu? Existuje vzorec, který vám pomůže. Platí totiž, že:

\[\log_ax=\frac{\log_bx}{\log_ba}\]

Pokud si za hodnotu b zvolíme Eulerovo číslo, získáme tím vzorec:

\[\log_ax=\frac{\ln x}{\ln a}\]

V první kapitole jsme potřebovali vypočítat logaritmus čísla 8 o základu 2. Toto můžeme pomocí přirozeného logaritmu vypočítat takto:

\[\log_28=\frac{\ln8}{\ln2}=3\]

Výpočet si zase můžeme zkontrolovat na Googlu. Nemusíte ale používat přirozený logaritmus, můžete použít klidně i dekadický, vzorec to umožňuje. Takže stejně tak platí:

\[\log_28=\frac{\log8}{\log2}=3\]

(Nezapomeňte, že pokud není uveden základ, předpokládá se základ a = 10.) Opět kontrola na Googlu.