Lineární funkce

Lineární funkce je každá funkce, která je dána předpisem y = ax + b, kde a a b jsou reálná čísla. Zvláštní případ lineární funkce nastává, pokud se a = 0, neboť předchozí zápis můžeme zkrátit takto: y = b, což je konstantní funkce (některé zdroje konstantní funkci mezi funkce lineární nezapočítávají).

Druhy lineárních funkcí

Lineární funkce mají poměrně hezké grafy, neboť je vždy popisuje přímka, například již zmíněná konstantní funkce má graf v podobě přímky rovnoběžné s osou x, protínající osu y v bodě b. Pokud se b = 0, přímka vždy prochází počátkem [0, 0]. Tato funkce bývá také označována jako přímá úměrnost.

graf funkce y = x graf funkce y = x

Další vlastnosti lineární funkce vyplývají z toho, jaké je a. Pokud je totiž a > 0, jedná se o graf rostoucí funkce, ovšem je-li a < 0, graf je rázem klesající. Graf funkce y = ax bude osově souměrný podle osy y s funkcí y = −ax.

Graf klesající funkce y = -2x Graf klesající funkce y = -2x

Vlastnosti lineárních funkcí

Definiční obor lineárních funkcí je množina reálných čísel, stejně tak u oboru hodnot. Funkce je klesající či rostoucí v závislosti na konstantě a. Funkce je to prostá, neboť nenalezneme vodorovnou přímku, která by graf lineární funkce protla ve více než v jednom bodě (neplatí pro konstantní funkci). Dále není periodická, je na celém svém definičním oboru spojitá, nemá maximum ani minimum. Lineární funkce není ani sudá ani lichá, pouze v případě, že se b = 0, jedná se o funkci lichou.

Příklad

Nakreslete graf funkce y = −3x +1.

Graf této funkce nakreslíme snadno. Víme, že grafem každé lineární funkce je přímka (teoreticky může být i úsečka, pokud máte vykreslit graf lineární funkce pouze na určitém intervalu). To nám bude bohatě stačit. K tomu, abychom narýsovali přímku nám stačí znát souřadnice pouhopouhých dvou bodů. Spočítejme si je. Dosaďme nejprve za x nejjednodušší číslo, nulu. Vyjde nám f(0) = 1. Prvním bodem, kterým bude přímka procházet bude [0, 1]. Jako druhý bod si můžeme dosadit třeba jedničku. Dostaneme tohlentoto: f(1) = −3 + 1 = −2. Druhý bod bude mít souřadnice [1, −2]. Nyní už máme potřebné dva body k tomu, abychom narýsovali graf této funkce:

Výsledný graf funkce y = -3x +1 Výsledný graf funkce y = -3x +1