Lineární funkce

Lineární funkce je každá funkce, která je dána předpisem y = ax + b, kde a a b jsou reálná čísla. Zvláštní případ lineární funkce nastává, pokud se a = 0, neboť předchozí zápis můžeme zkrátit takto: y = b, což je konstantní funkce (některé zdroje konstantní funkci mezi funkce lineární nezapočítávají).

Druhy lineárních funkcí #

Lineární funkce mají poměrně hezké grafy, neboť je vždy popisuje přímka, například již zmíněná konstantní funkce má graf v podobě přímky rovnoběžné s osou x, protínající osu y v bodě b. Pokud se b = 0, přímka vždy prochází počátkem [0, 0]. Tato funkce bývá také označována jako přímá úměrnost.

graf funkce y = xgraf funkce y = x

Další vlastnosti lineární funkce vyplývají z toho, jaké je a. Pokud je totiž a > 0, jedná se o graf rostoucí funkce, ovšem je-li a < 0, graf je rázem klesající. Graf funkce y = ax bude osově souměrný podle osy y s funkcí y = −ax.

Graf klesající funkce y = -2xGraf klesající funkce y = -2x

Vlastnosti lineárních funkcí #

Definiční obor lineárních funkcí je množina reálných čísel, stejně tak u oboru hodnot. Funkce je klesající či rostoucí v závislosti na konstantě a. Funkce je to prostá, neboť nenalezneme vodorovnou přímku, která by graf lineární funkce protla ve více než v jednom bodě (neplatí pro konstantní funkci). Dále není periodická, je na celém svém definičním oboru spojitá, nemá maximum ani minimum. Lineární funkce není ani sudá ani lichá, pouze v případě, že se b = 0, jedná se o funkci lichou.

Příklad #

Nakreslete graf funkce y = −3x +1.

Graf této funkce nakreslíme snadno. Víme, že grafem každé lineární funkce je přímka (teoreticky může být i úsečka, pokud máte vykreslit graf lineární funkce pouze na určitém intervalu). To nám bude bohatě stačit. K tomu, abychom narýsovali přímku nám stačí znát souřadnice pouhopouhých dvou bodů. Spočítejme si je. Dosaďme nejprve za x nejjednodušší číslo, nulu. Vyjde nám f(0) = 1. Prvním bodem, kterým bude přímka procházet bude [0, 1]. Jako druhý bod si můžeme dosadit třeba jedničku. Dostaneme tohlentoto: f(1) = −3 + 1 = −2. Druhý bod bude mít souřadnice [1, −2]. Nyní už máme potřebné dva body k tomu, abychom narýsovali graf této funkce:

Výsledný graf funkce y = -3x +1Výsledný graf funkce y = -3x +1