Kvadratické nerovnice

Kvadratickou nerovnici můžeme zapsat v obecném tvaru takto: ax2 + bx + c > 0 případně ax2 + bx + c < 0, kde a, b, c jsou libovolná reálná čísla, a ≠ 0. Namísto „větší než“ a „menší než“ samozřejmě můžeme použít „větší nebo rovno“ a „menší nebo rovno“.

Kladný koeficient a #

Takováto nerovnice se řeší podobně jako běžná kvadratická rovnice, nejprve vypočítáme diskriminant a z výsledku můžeme odvozovat další postup. Pokud je diskriminant kladný, má odvozená rovnice dva reálné kořeny. Kořenem rovnice je bod na ose x, ve kterém graf funkce ax2 + bx + c protíná osu x. Tyto dva průsečíky nám tak rozdělují osu x na tři intervaly.

Můžeme si zkusit vyřešit nerovnici 2x2 − 7x + 3 < 0. Nakreslíme si graf funkce 2x2 − 7x + 3, ten vypadá takto:

Graf funkce 2x^2 - 7x + 3Graf funkce 2x2 − 7x + 3

Vidíme, že graf protíná osu x ve dvou bodech: \(x_1 = \frac12\) a x2 = 3. Pokud bychom vypočítali obyčejnou kvadratickou rovnici, získali bychom stejné řešení, protože diskriminant této rovnice je

\[D = b^2-4ac = (-7)^2-4 \cdot 2 \cdot 3 = 49 - 24 = 25\]

Kořeny bychom pak vypočítali takto:

\[\begin{eqnarray}x_1 &=& \frac{-b-\sqrt{D}}{2a} = \frac{7-5}{4} = \frac12\\x_2 &=& \frac{-b+\sqrt{D}}{2a} = \frac{7+5}{4} = 3\\\end{eqnarray}\]

Tyto dva kořeny nám rozdělují graf funkce 2x2 − 7x + 3 na tři intervaly.

  • \(\left(-\infty, \frac12\right)\) v tomto intervalu jsou hodnoty kladné (graf je „nad“ osou x, moodrá část grafu)
  • \(\left(\frac12, 3\right)\) v tomto intervalu jsou hodnoty záporné (graf je „pod“ osou x, červená část grafu)
  • (3, ∞) v tomto intervali jsou opět hodnoty kladné, zbylá modrá část grafu.

Všimněte si, že v intervalech používáme kulaté závorky, které značí otevřený interval. To znamená, že čísla 3 ani \(\frac12\) nejsou obsaženy v intervalu \(\left(\frac12, 3\right)\). Je to proto, že v bodě x = 3 má funkce hodnotu nula, a my jsme chtěli vypsat interval, ve kterém jsou hodnoty menší než nula.

Nyní už známe všechny potřebné informace k tomu, abychom určili výsledek nerovnice 2x2 − 7x + 3 < 0. Ptáme se, kdy jsou hodnoty funkce 2x2 − 7x + 3 menší než nula? Jsou menší než nula v intervalu \(\left(\frac12, 3\right)\), červená část grafu.

Můžeme zkusit vyřešit ještě tyto nerovnice:

  • 2x2 − 7x + 3 ≤ 0: tato nerovnice se od předchozí liší v tom, že je tam namísto pouhého <. Výsledek bude stejný jako v předchozím případě, pouze místo otevřeného intervalu použijeme uzavřený interval. Výsledkem tak bude interval \(\left<\frac12, 3\right>\), protože v bodech \(\frac12\) a 3 má funkce 2x2 − 7x + 3 hodnotu nula a my nyní hledáme, kdy je tato funkce menší nebo rovna nula. Nezapomínejte, v rovnici je znak .

  • 2x2 − 7x +3 > 0: výsledkem budou „modré části“ grafu funkce. Výsledné intervaly musíme sjednotit, protože funkce je kladná jak v intervalu \(\left(-\infty, \frac12\right)\), tak i v intervalu (3, ∞). Výsledná množina má tvar \(\left(-\infty, \frac12\right) \cup \left(3, \infty\right)\).

  • 2x2 − 7x +3 ≥ 0: opět jsme jen změnili > na . Výsledkem tak bude stejná množina, pouze do ní zahrneme prvky \(\frac12\) a 3, couž uděláme uzavřeným intervalem: \(\left(-\infty, \frac12\right> \cup \left<3, \infty\right)\).

Záporný koeficient a #

Co by se stalo, kdybychom předchozí rovnici změnili na x2 + x + 2 < 0? Hlavní změna se udála v koeficientu a, který je teď roven a = −1. V minulé rovnici jsme měli 2x2, koeficient před x2 byl kladný, zatímco zde je záporný. Nejlepší bude, když se podíváme na graf:

Graf funkce -x^2 + x + 2Graf funkce x2 + x + 2

Vidíme, že graf se změnil především tak, že už nemá tvar písmene „U“, ale má tvar kopce. Na postupu se ale nic nezměnilo. Opět vznikají tři intervaly:

  • (−∞, −1): hodnoty jsou záporné.
  • (−1, 2): hodnoty jsou kladné.
  • (2, ∞): hodnoty jsou záporné.

Výsledkem nerovnice x2 + x + 2 < 0 tak bude sjednocení intervalů \((-\infty, -1) \cup (2, \infty)\).

Ale já si nechci pořád čmárat grafy! #

Nemusíš! Všechna předcházející řešení byla založená na tom, že jsme si nakreslili graf a z nich jsme vyčetli body průniku s osou x a následně i to, jestli jsou v daném intervalu hodnoty kladné, nebo záporné. Jde to ale i jinak.

Pokud máme kvadratickou rovnici 3x2 − 4x + 1 < 0, můžeme jen vyřešit kvadratickou rovnici 3x2 − 4x + 1 = 0 klasickými způsoby. Vypočítáme tak diskriminant:

\[D = b^2-4ac=(-4)^2-4\cdot3\cdot1=4\]

Dále vypočítáme kořeny kvadratické rovnice:

\[\begin{eqnarray}x_1 &=& \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{4-2}{6} = \frac13\\x_2 &=& \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{4+2}{6} = 1\\\end{eqnarray}\]

Víme, že graf protíná osu x v bodech \(x_1=\frac13\) a x2 = 1. Vznikají nám tři intervaly: \(\left(-\infty, \frac13\right)\), \(\left(\frac13, 1\right)\), (3, ∞). Otázkou je, jak zjistit, jestli má funkce f(x) = 3x2 − 4x + 1 v daném intervalu kladné, nebo záporné hodnoty.

To zjistíme tak, že do funkce f(x) = 3x2 − 4x + 1 vždy vložíme nějaké číslo z daného intervalu. Pokud bude výsledek funkce kladný, je na celém intervalu funkce kladná. Totéž pro záporné hodnoty.

  • Vybereme libovolné číslo z intervalu \(\left(-\infty, \frac13\right)\), například nulu, s ní se dobře počítá. S nulou zavoláme funkci f: f(0) = 3 · 02 − 4 · 0 + 1 = 1. Číslo 1 je kladné, v tomto intervalu jsou tak kladné hodnoty.
  • Vybereme číslo z intervalu \(\left(\frac13, 1\right)\): nejlepší je asi jedna polovina:

    \[f(\frac12) = 3\left(\frac12\right)^2-4\frac12+1=3\frac14-2+1=-\frac14\]

    Číslo \(-\frac14\) je záporné, takže v tomto intervalu jsou všechny hodnoty záporné.

  • V posledním intervalu budou stejné hodnoty jako v prvním – kladné. Vždy se to střídá: kladné – záporné – kladné nebo záporné – kladné – záporné. Ale můžeme si to klidně dopočítat. Zvolíme číslo z intervalu (3, ∞), například 10:

    \[ f(10) = 3\cdot10^2-4\cdot10+1=300-40+1=261 \]

    To je kladné číslo, všechny hodnoty v tomto intervalu tak jsou kladné.

Zbývá dořešit celou nerovnici. Ta měla tvar: 3x2 − 4x + 1 < 0. Na základě předchozích informací víme, že funkce 3x2 − 4x + 1 má záporné hodnoty v intervalu \(\left(\frac13, 1\right)\). Už jen pro ověření se můžeme podívat na graf:

Graf funkce 3x^2-4x+1Graf funkce 3x2 − 4x + 1

Nulový diskriminant #

Při řešení kvadratické rovnice nám může vyjít nulový diskriminant. Ten vyjde vy chvíli, kdy se graf funkce dotýká osy x v jednom bodě. Ukážeme si to na nerovnici 3x2 + 6x + 3 ≥ 0. Diskriminant je roven nule:

\[D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 36 - 36 = 0\]

Graf by vypadal takto:

Graf funkce 3x^2 + 6x + 3Graf funkce 3x2 + 6x + 3

Jak je vidět, graf protíná osu x v jediném bodě x1 = −1 a zbytek grafu je nad osou x v kladných hodnotách. To znamená, že řešením nerovnice 3x2 + 6x + 3 ≥ 0 je celá množina reálných čísel, protože ať dosadíme za x jakékoliv reálné číslo, vždy bude hodnota větší nebo rovna nule.

Záporný diskriminant #

Pokud nám vyjde diskriminant záporný, znamená to, že graf nikdy neprotíná osu x. Jak se to projeví v našich nerovnicích? Tak, že graf je buď celý nad osou x nebo celý pod osou x. Pokud bychom předchozí rovnici upravili takto: 3x2 + 6x + 4 > 0 (změnili jsme znaménko z n > a změnili jsme číslo tři na čtyři), tak by diskriminant vyšel:

\[D = 6^2 - 4 \cdot 3 \cdot 4 = -12\]

a graf by vypadal takto:

Graf funkce 3x^2 + 6x + 4Graf funkce 3x2 + 6x + 4

Graf je kompletně celý nad osou x, ať za x dosadíme jakékoliv reálné číslo, výsledná hodnota bude vždy kladná. řešením nerovnice tak je opět množina reálných čísel.