Kvadratická funkce

Kvadratická funkce je taková funkce, kterou lze vyjádřit předpisem f(x) = ax2 + bx + c, kde a, b, c jsou reálná čísla a dále \(a \ne 0\). Stejně jako lineární funkce je vždy popsána přímkou, kvadratická funkce je zase vždy popsána parabolou.

Příklad kvadratické funkce #

Příkladem jednoduché kvadratické funkce může být f(x) = x2 + 3x − 7. Graf této funkce by vypadal takto:

Graf funkce f(x) = x^2 + 3x - 7Graf funkce f(x) = x2 + 3x − 7

Kvadratickou funkci bychom mohli schematicky zapsat jako ax2 + bx + c. Člen ax2 se nazývá kvadratický člen a tento člen musí mít každá kvadratická funkce. Další člen bx se nazývá lineární člen a nemusí se v kvadratick funkci vyskytovat – může být nulový. Například tato funkce f(x) = 5x2 + 7 je stále kvadratická funkce. Poslední člen c se nazývá absolutní člen a také není povinný. Pro funkci f(x) = x2 + 3x − 7 by tak platilo

\[a = 1, b = 3, c = -7\]

Proč je a rovno jedné? Protože zápis x2 vlastně znamená 1 · x2, proto a = 1.

Vlastnosti kvadratické funkce #

Začneme definičním oborem: Definiční obor kvadartické funkce je \(\mathbb{R}\), množina reálných čísel, obor hodnot závisí na konkrétní funkci, ale vždy jde do (plus nebo minus) nekonečna. Kvadratická funkce je dále vždy v polovině intervalu rostoucí a v druhé polovině klesající. Pokud je lineární člen roven nule (b = 0), kvadratická funkce je sudá. Kvadratická funkce nikdy není prostá funkce.

Omezení shora nebo zdola #

Kvadratická funkce je vždy buď omezená shora, nebo zdola. Závisí to pouze na parametru a. Pokud je totiž parametr a kladný, pak graf funkce „roste nahoru“, graf vypadá jako písmeno „U“ a graf je tak omezený zdola. Příkladem je funkce f(x) = 2x2 s grafem:

Graf funkce 2x^2Graf funkce 2x2

Vidíme, že všechny funkční hodnoty (všechny červené body) jsou nad číslem −1, funkce je tak zdola omezená. Pokud bychom měli funkci f(x) = −2x2:

Graf funkce -2x^2Graf funkce −2x2

tak by zase všechny funknčí hodnoty byly pod číslem 1, funkce by tak bylo shora omezená.

Konvexnost a konkávnost #

Konvexnost a konkávnost opět závisí na parametru a. Kvadratická funkce je konvexní, pokud má tvar písmene „U“ a je konkávní, pokud má tvar převráceného písmene „U“. Takže pokud je a > 0, graf je konvexní a jestliže je a < 0, graf je konkávní.

Parametr a dále ovlivňuje i to, jestli bude graf úzký nebo široký. Čím více se hodnota blíží nule, tím je graf širší a naopak.

Graf funkce 4x^2Graf funkce 4x2

Graf funkce \frac14x^2Graf funkce \(\frac14x^2\)

Průsečíky s osou x a y #

Pokud chceme spočítat průsečíky funkce s osou x nebo y, jen sestavíme jednoduchou rovnici a tu pak vyřešíme. Musíme si jen uvědomit, že funkci můžeme zapsat ve tvaru y = ax2 + bx + c, což znamená, že y-ovou souřadnici v bodě x = 2 zjistíme tak, že za všechna x dosadíme dva.

Např. pro funkci y = x2 − 4x + 3 by platilo, že v bodě x = 2 dostaneme y-ovou souřadnici 22 − 4 · 2 + 3 = −1. Graf funkce tak jistě prochází bodem [2, −1]. Pokud chceme vypočítat průsečíky s osou x, pak nás vlastně zajímá x-ová hodnota ve chvíli, kdy platí y = 0. Průsečík s osou x má vždy y-ovou souřadnici 0, podívejte se na následující graf a bude vám to jasné.

Kvadratická funkce f(x) = x^2-4x+3Kvadratická funkce f(x) = x2 − 4x + 3

Proto v zápisu y = x2 − 4x + 3 jen dosadíme za y nulu a vyřešíme rovnici. Výsledné kořeny jsou x-ové souřadnice průsečíků.

\[x^2-4x+3 = 0\]

To je kvadratická rovnice, kterou můžeme vyřešit standardními postupy. Můžeme ji například rozložit na součinový tvar (x − 1) · (x − 3), z čehož zjistíme, že kořeny jsou x1 = 1 a x2 = 3.

Pokud chceme získat průsečíky s osou y, tak budeme postupovat stejně. Vezmeme si zápis y = x2 − 4x + 3 a tentokrát dosadíme nulu za x. V podstatě se ptáme, jaká je funkční hodnota funkce v bodě x = 0:

\[0^2-4\cdot0+3=3\]

Průsečíky s osou x tak jsou [1, 0] a [3, 0] a s osou y pak [0, 3].

Jak vypočítat souřadnice vrcholu #

U kvadaratické funkce je také velice důležité určit její vrchol a abyste si nemuseli pamatovat poměrně složitý vzorec, ukážeme si jiný způsob, který využívá metodu doplnění na čtverec. Vrchol kvadratické funkce je bod, ve kterém má funkce minimum nebo maximum. Funkce f(x) = x2 − 4x + 3, jejíž graf vypadá takto:

Kvadratická funkce f(x) = x^2-4x+3Kvadratická funkce f(x) = x2 − 4x + 3

má vrchol v bodě [2, −1].

Standardní zápis kvadratické funkce vypadá takto: f(x) = ax2 + bx + c. My si tuto funkci převedeme na tvar g(x) = (x + m)2 + n, kde [−m, n] je vrchol kvadratické funkce. Pro naši funkci tak chceme dostat tvar (x − 2)2 − 1. Jak tento tvar získáme?

Nejprve si napíšeme pouze tu závorku: (x + m) a za m dosadíme poloviční hodnotu parametru b z kvadratické funkce. Parametr b je roven minus čtyřem, polovina je tak rovna minus dvěma, takže dostáváme tento zápis: (x − 2)2.

Teď je na řadě druhý krok, musíme odečíst přebývající položky. Kdybyste tuto závorku roznásobili, nevyšel by vám správný výsledek, nedostali bychom původní funkci. Od závorky se ještě musí odečíst druhá mocnina m a přičíst parametr c z původní funkce.

Tedy konkrétně od závorky odečteme (−2)2 a přičteme tři (parametr c):

\[(x - 2)^2 − 4 + 3\]

Po úpravě dostaneme

\[(x - 2)^2 − 1,\]

což je finální výsledek. Protože je funkce ve tvaru (x + m)2 + n, kde m = −2, n = −1, tak víme, že vrchol má souřadnice [−m, n], tedy [2, −1].

Měli bychom ještě provést kontrolu, zda jsme počítali správně. My jsme jen převedli kvadratickou funkci x2 − 4x + 3 na tvar (x − 2)2 − 1. Tento nový tvar by ale měl popisovat stejnou funkci, takže pokud roznásobíme závorku, měli bychom získat původní tvar funkce. Zkusíme tak roznásobit (x − 2)2 − 1.

\[\begin{eqnarray}(x - 2)^2 − 1 &=& (x-2) \cdot (x-2)-1\\&=& x^2-4x+4-1\\&=& x^2-4x+3\end{eqnarray}\]

Vidíme, že jsme dostali stejnou funkci, úpravy jsme provedli správně.