Goniometrický tvar komplexního čísla

Zobrazit kapitoly článku
  1. Komplexní čísla
  2. Grafické znázornění komplexních čísel
  3. Goniometrický tvar komplexního čísla

Ne vždy se vyplatí mít komplexní číslo v algebraickém tvaru a proto se zavádí ještě goniometrický tvar komplexního čísla.

Jak lze vyjádřit bod v rovině? #

Víme, že v geometrickém vyjádření představuje komplexní číslo z = x + yi bod v Gaussově rovině. Tento bod má souřadnice [x, y]. Jakým dalším způsobem můžeme ještě definovat daný bod z krom vypsání souřadnic [x, y]?

Můžeme vypočítat, jaký úhel svírá spojnice bodu z a počátku s osou x (resp. její kladnou poloosou). Tím budeme vědět, kterým směrem leží bod z směrem od počátku. Abychom zjistili, kde leží přesně, potřebujeme ještě znát vzdálenost od počátku. S těmito dvěma údaji už jsme schopni přesně definovat bod z v Gaussově rovině.

Goniometrický tvar #

Následující obrázek shrnuje, co vše potřebujeme znát, abychom mohli vyjádřit komplexní číslo v goniometrického tvaru:

Co potřebujeme znát k určení goniometrického tvaru číslaCo potřebujeme znát k určení goniometrického tvaru čísla

Jak je vidět, potřebujeme znát délku spojnice od bodu z k počátku, což je rovno absolutní hodnotě čísla z – to už umíme spočítat. Dále potřebujeme znát úhel \(\varphi\). Goniometrický tvar komplexního čísla pak vypadá takto:

\[z=|z|(\cos\varphi+i\sin\varphi)\]

Jak zjistíme úhel \(\varphi\)? Využijeme k tomu goniometrické funkce. Máme zde pravoúhlý trojúhelník a známe délku přepony, to je absolutní hodnota čísla z. V goniometrickém tvaru máme jak sinus, tak cosinus, takže musíme úhel \(\varphi\) vyjádřit pomocí obou funkcí. Přitom ale, z vlastností goniometrických funkcí, platí, že:

\[\begin{eqnarray}\sin\varphi&=&\frac{y}{|z|}\\\cos\varphi&=&\frac{x}{|z|}\end{eqnarray}\]

Z těchto vzorců můžeme odvodit samotný úhel \(\varphi\). Odvodit úhel je nutné, protože goniometrický tvar zapisujeme včetně sinu a kosinu.

Příklad #

Převeďte komplexní číslo v algebraické tvaru do goniometrického tvaru: \(z=\sqrt{3}+i\). Jako první vypočítáme absolutní hodnotu čísla z, což se rovná:

\[|z|=\sqrt{3+1}=2\]

Nyní tak platí:

\[\begin{eqnarray}\sin\varphi&=&\frac{1}{2}\\\cos\varphi&=&\frac{\sqrt{3}}{2}\end{eqnarray}\]

V tuto chvíli můžeme buď použít kalkulačku a spočítat arcus sinus a arcus cosinus, nebo můžeme využít tabulky základních goniometrických vzorců. Obě hodnoty, které nám vyšly, jsou tabulkové, takže pro tentokrát kalkulačku nepoužijeme.

Pokud platí, že \(\sin\varphi=\frac12\), pak je úhel \(\varphi\) roven buď π/6 nebo 5π/6. Pokud platí, že \(\cos\varphi=\frac{\sqrt{3}}{2}\), pak je úhel \(\varphi\) roven buď úhlu π/6 nebo 11π/6. Průnikem těchto možností je úhel π/6, použitím tohoto úhlu dostaneme hodnoty, které jsme si zapsali v předchozí rovnici.

Násobení a dělení #

Komplexní čísla v goniometrickém tvaru můžeme samozřejmě násobit či dělit. Za pomocí součtových goniometrických vzorců lze odvodit vzorce pro součin a podíl dvou komplexních čísel. Mějme dvě komplexní čísla z1 a z2:

\[\begin{eqnarray}z_1&=&|z_1|(\cos\varphi_1+i\sin\varphi_1)\\z_2&=&|z_2|(\cos\varphi_2+i\sin\varphi_2)\end{eqnarray}\]

Samotné vzorce vypadají takto:

\[\begin{eqnarray}z_1\cdot z_2&=&|z_1|\cdot|z_2|\left[\cos(\varphi_1+\varphi_2)+i\sin(\varphi_1+\varphi_2)\right]\\\frac{z_1}{z_2}&=&\frac{|z_1|}{|z_2|}\left[\cos(\varphi_1-\varphi_2)+i\sin(\varphi_1-\varphi_2)\right]\end{eqnarray}\]

Další zdroje #