Interval

Intervaly se v matematice hojně používají a jsou obsaženy v kdejaké definici. Interval je množina bodů, která se ohraničena dvěma krajními body. Dále rozlišujeme otevřené a uzavřené intervaly.

Základní popis #

Intervaly používáme i v běžné mluvě, například „za nesprávnou barvu svých očí můžete od Evropské unie dostat pokutu v rozmezí deset až dvacet tisíc korun“. V příkladu je použito slovo „rozmezí“, ale matematicky vzato se jedná o interval. Teď ale nastávají zrádné otázky: můžete dostat pokutu přesně deset tisíc korun nebo se tam krajní hodnota rozmezí nepočítá? Jak moc jemně si mohu pokutu vybírat? Mohu dát pokutu 18 541,97 korun? Nebo mohu škálovat například pouze po stovkách? Tj. buď 18 500 nebo 18 600?

Vše řeší matematický zápis. Při něm musíme říci dvě podstatné věci: v jaké množině se pohybujeme (v kontextu příkladu – stovky? Tisíce? Jednotky korun?) a jestli do intervalu spadají i krajní body (mohu dostat pokutu právě deset nebo dvacet tisíc?).

Dobrá zpráva je, že v drtivé většině případů v matematice chceme, aby interval pracoval s množinou reálných čísel, takže pokud narazíte na interval bez specifikace množiny, jedná se jistě o reálná čísla.

Výchozí množinu už máme, teď jak označit, jestli chceme brát v potaz krajní body? Interval se zapisují pomocí závorek. Kulatá závorka značí, že daný krajní bod do intervalu nepatří, ostrá závorka pak značí, že tam krajní bod patří. Tomu říkáme otevřenost a uzavřenost. Pokud krajní bod do intervalu patří, je interval uzavřený, pokud nepatří, je otevřený.

Příklady #

Následují příklady (všechny v množině reálných čísel, není-li řečeno jinak):

  • \(\left<1,2\right>\qquad\) Uzavřený interval od jedné do dvou. Do intervalu spadají všechna reálná čísla mezi jedničkou a dvojkou včetně jedničky a dvojky.
  • \((1,2)\qquad\) Otevřený interval od jedné do dvou. Do intervalu spadají všechna reálná čísla mezi jedničkou a dvojkou, ale samotná čísla jedna a dva tam nepatří.
  • \(\left<0,1\right)\qquad\) Interval je zleva uzavřený a zprava otevřený. Do intervalu spadají všechna čísla mezi nulou a jedničkou, včetně nuly samotné, ale jednička do intervalu nepatří.
  • \(\left(p,q\right>\qquad\) Interval je zleva otevřený a zprava uzavřený. Do intervalu spadají všechny čísla mezi čísly p a q, včetně čísla q, ale vyjma čísla p.
  • \(\left<0,\infty\right)\qquad\) Zleva uzavřený interval a zprava otevřený. Pokud máte v intervalu nekonečno, používejte z dané strany otevřený interval, nekonečno nemá nějaký krajní konečný bod, uzavřený interval tam nemá smysl.
  • \(\left<1,5\right>\subset\mathbb{N}\qquad\) Zde následuje změna, nepracujeme s množinou reálných čísel, ale s množinou přirozených čísel. Máme z obou stran uzavřený interval a v daném intervalu je tak celkem pět čísel: 1, 2, 3, 4 a 5.
  • \(\left(1,5\right>\subset\mathbb{N}\qquad\) Stejný případ jako před chvílí, pouze je interval zleva otevřený a tak jednička nepatří do intervalu a výčet všech prvků intervalu je: 2, 3, 4 a 5.

Interval jako množina #

Jak je vidět, interval není nic jiného než podmnožina množiny, nad kterou je definován. Proto můžeme s intervaly pracovat jako s množinami provádět s nimi množinové operace. Například sjednocení by mohlo vypadat takto:

\[\left<0, 5\right>\cup\left<5,10\right>=\left<0,10\right>\]

Pozor na otevřené intervaly, tam by ta rovnost totiž neplatila, protože pětka do výsledného intervalu nepatří:

\[\left(0, 5\right)\cup\left(5,10\right)\ne\left(0,10\right)\]

Správně by to mohlo vypadat například takto:

\[\left(0, 5\right)\cup\left(5,10\right)=\left(0,10\right)-{5}\]

Kdy použít otevřený interval #

Rozdíl mezi otevřeným a uzavřeným intervalem je nutné pochopit. Častým případem užití otevřeného intervalu je například definiční obor logaritmu. Logaritmus můžeme zavolat s jakýmkoliv kladným reálným číslem, což znamená, že nemůžeme zavolat se záporným číslem, ale ani s nulou. Jak to zapíšeme?

\[D(\ln)=\left(0,\infty\right)\]

Tento zápis říká, že logaritmus můžeme volat s jakkoliv malým kladným číslem, ale nesmíme ho volat s nulou. Takže například číslo 1 spadá do intervalu, číslo 0,001 také, stejně tak číslo 0,0000000001 nebo 10−666. Ale nula už do intervalu nespadá. Podobně bychom mohli zapsat definiční obor funkce se zlomkem, třeba obyčejné f(x) = 1/x.

\[D(f)=(-\infty,0)\cup(0,\infty)\]

To nám vytyčuje množinu reálných čísel bez nuly. V ani jednom intervalu není nula na místě uzavřeného intervalu, proto ani ve výsledném sjednocení nula nebude. Nicméně můžeme použít jakkoliv malé kladné číslo nebo jakkoliv velké záporné číslo (u záporných čísel platí, že -0,001 je větší než -0,1, proto jakkoliv velké číslo a ne jakkoliv malé číslo).

Geometrická interpretace #

Intervaly obyčejně zobrazujeme na číselné ose jako úsečky, krajní body volíme podle toho, zda je interval uzavřený nebo otevřený. Pokud je interval uzavřený, bude kolečko zobrazující bod vybarvené, pokud je otevřený, bude nevybarvené, bude to jen obrys, jen kružnice.

Následující obrázek zachycuje zobrazení třech intervalů vždy od dvou do šesti, ale liší se v uzavřenosti stran. Takže popořadě budou zobrazeny tyto intervaly: \(\left<2,6\right>, \left(2,6\right>, \left(2,6\right)\).

Shora dolů: uzavřený interval, zleva otevřený, otevřený intervalShora dolů: uzavřený interval, zleva otevřený, otevřený interval