PRUMYSL.CZ KONSTRUKTER.CZ 3D-TISK.CZ MATEMATIKA.CZ NOVAMEDIA.CZ

Průběh funkce: extrémy

Zobrazit kapitoly článku
  1. Průběh funkce
  2. Průběh funkce: extrémy
  3. Průběh funkce: monotonnost
  4. Konvexnost a konkávnost

Extrémy funkce jsou body, ve kterých funkce nabývá svých maximálních nebo minimálních hodnot.

Extrémy funkce #

Rozlišujeme dva základní typy extrémů – minimum a maximum. Dále rozlišujeme globální maximum/minimum a lokální maximum/minimum. Globální maximum je bod, ve kterém má funkce největší hodnotu ze všech bodů definičního oboru. Pokud je tato hodnota jediná, říkáme, že se jedná o ostré maximum. Funkce totiž může mít nejvyšší hodnotu ve více bodech, podobně, jako například dva různí zaměstnanci mohou brát nejvyšší mzdu půl milion korun měsíčně. Definice minima a maxima jsou uvedeny v článku o funkcích.

Lokální minimum pak definujeme pouze na části definičního oboru funkce, typicky na nějakém intervalu. Definice lokálního maxima a minima:

  • Funkce f má v bodě \(M \in D(f)\) lokální maximum, pokud existuje nějaké okolí U = (M−ε, M+ε), kde ε > 0 takové, že pro všechna \(x\in U\cap D(f)\) platí f(x)≤ f(M).
  • Funkce f má v bodě \(m \in D(f)\) lokální minimum, pokud existuje nějaké okolí U = (m−ε, m+ε), kde ε > 0 takové, že pro všechna \(x\in U \cap D(f)\) platí f(x)≥ f(m).

Příkladem funkce, která má nekonečně mnoho extrémů je funkce f(x) = x · sin x:

Graf funkce f(x) = x \cdot \sin xGraf funkce f(x) = x · sin x

A proč je v definici „pro všechna \(x\in U\cap D(f)\)“, ted proč je tam ten průnuk s definičním oborem? Například proto, že funkce dána tímto grafem…

Graf funkce fGraf funkce f

…má v bodě m = 1 minimum, ale přitom v jakémkoliv levém okolí bodu m = 1 není funkce definována, takže by v tomto levém okolí neplatilo, že f(x)≥ f(m). Pokud uděláme ještě průnik s definičním oborem, získáme pouze pravé okolí.

Základní princip hledání extrémů #

Nyní se ale vraťme ke grafu funkce f(x) = x2 + 1 spolu s třemi tečnami:

Graf funkce f(x)=x^2+1 s třemi tečnami a, b, cGraf funkce f(x) = x2 + 1 s třemi tečnami a, b, c

Zaměříme se především na tečnu c. Vidíme, že tečna se dotýká grafu v minimu funkce x2 + 1 a je vodorovná, tedy rovnoběžná s osou x. „Svírá“ tak s kladnou poloosou x úhel 180 stupňů. Co by se stalo, kdybychom funkci obrátili a místo minima měla funkce maximum? Graf funkce x2 + 1:

Graf funkce -x^2+1Graf funkce x2 + 1

Všimněme si, že tečna c, která prochází maximem funkce x2 + 1 je opět rovnoběžná s osou x. Z toho nám vzniká zákonitost: pokud hledáme minimum nebo maximum funkce, hledáme tečnu, která je rovnoběžná s osou x, která má tangens úhlu, který svírá s osou x, rovný nule. Z předchozího obrázku lze vidět, že \(tan(180^{\circ})=0\). V kontextu derivací tak hledáme bod, pro který platí, že jeho derivace je rovná nule: \(f^{\prime}(x)=0\).

Vypočítáme si extrém u naší oblíbené funkce f(x) = x2 + 1 pomocí derivací. Derivace funkce f je \(f^{\prime}(x)=2x\). Dále hledáme, kdy je první derivace rovna nule, tj. řešíme rovnici \(f^{\prime}(x)=0\); po dosazení 2x = 0. To triviálně platí pro x = 0. Vidíme, že to souhlasí s tím, že funkce f(x) = x2 + 1 má v bodě x = 0 globální minimum.

Výjimky z „pravidla“ #

Chtělo by se říci, že funkce má v bodě x extrém právě tehdy, pokud je derivace v tomto bodě rovna nule. To bohužel není pravda, takto jednoduché to není. Podívejme se na následující příklady:

  • Zkusíme zjistit extrémy funkce f(x) = x3. První derivace této funkce je \(f^{\prime}(x)=3x^2\). Vyřešíme rovnici \(f^{\prime}(x)=0\), tedy 3x2 = 0. To zřejmě platí pro x = 0. Ale má v bodě x = 0 funkce x3 nějaký extrém? Podívejme se na graf:

    Graf funkce f(x)=x^3Graf funkce f(x) = x3

    Vidíme, že v bodě x = 0 žádný extrém funkce nenastává. Ani globální, ani lokální. Proč nám tedy v tomto bodě vychází derivace nulová? Protože v tomto bodě je zkrátka tečna t rovnoběžná s osou x, viz následující obrázek:

    Tečna funkceTečna funkce

  • Co taková milá funkce f(x) = |x|, tj. absolutní hodnota z x? Z grafu můžeme vyčíst, že má v bodě x = 0 globální minimum:

    Graf funkce f(x)=|x|Graf funkce f(x) = |x|

    Jenomže tato funkce nemá v bodě x = 0 derivaci! V bodě x = 0 nemá funkce tečnu, protože těžko říci, jak by ta tečna mohla vypadat.

Platí tak:

  • Pokud má funkce f v bodě x extrém, tj. minimum nebo maximum, a pokud v tomto bodě existuje derivace (!), pak je tato derivace nulová. Může se stát, že má funkce v bodě x extrém a zároveň že v daném bodě nemá funkce žádnou derivaci.

  • Pokud má funkce f v bodě x nulovou derivaci, pak v tomto bodě může být extrém, ale také nemusí.

Jak najít extrémy funkce #

Budeme předpokládat, že máme na vstupu funkci f, která je derivovatelná na celém svém definičním oboru. V prvním kroku tak zderivujeme funkci f, čímž získáme funkci \(f^{\prime}\). Dále položíme první derivaci rovnou nule, tj. řešíme rovnici \(f^{\prime}(x) = 0\). Řešením této rovnice jsou body, které jsou „podezřelé“ z extrému, neboli stacionární body.

Dále musíme určit, které z těch stacionárních bodů jsou extrémy. To zjistíme například z druhé derivace funkce f. Pokud je s stacionrání bod, tj. pokud platí \(f^{\prime}(s)=0\), pak pokud \(f^{\prime\prime}(s) > 0\), pak se v bodě s nachází minimum, zatímco pokud \(f^{\prime\prime} < 0\), pak se v bodě s nachází maximum.

Pokud je i druhá derivace v tomto bodě nulová, pak musíme pokračovat v derivování dále, o tom později. Teď příklad. Mějme funkci f(x) = 3x2 + 6x. Nalezněte její extrémy.

Vypočítáme první derivace: \(f^{\prime}(x)=6x+6\). Položíme první derivaci rovnou nule:

\begin{eqnarray} 6x+6&=&0\\ x+1&=&0\\ x&=&-1 \end{eqnarray}

V bodě x = −1 se tak nachází stacionární bod; bod podezřelý z extrému. Vypočítáme druhou derivaci. Ta je rovna funkci \(f^{\prime\prime}(x)=0x+6\). Po dosazení bodu x = −1 získáme \(f^{\prime\prime}(-1)=6\). Výsledek je kladný, funkce má v daném bodě minimum. Graf:

Graf funkce f(x)=3x^2+6xGraf funkce f(x) = 3x2 + 6x

Co když je i druhá derivace nulová? #

Zkusíme si najít extrém funkce f(x) = x4, graf:

Graf funkce f(x)=x^4Graf funkce f(x) = x4

První derivace této funkce je \(f^{\prime}(x)=4x^3\). Řešením rovnice \(f^{\prime}(x)=0\) je pochopitelně jediný stacionární bod s = 0. Spočítáme druhou derivaci, ta je rovna \(f^{\prime\prime}(x)=12x^2\). Do této druhé derivace dosadíme stacionární bod s, takže dostaneme

\[f^{\prime\prime}(0)=12\cdot0^2=0.\]

Dostali jsme nulu, což by dle toho, co jsme zatím uvedli, znamenalo, že v bodě není extrém. Ale my vidíme, že v bodě extrém je. Pokud nastane tato situace, derivujeme dále. Nalezneme třetí derivaci a dosadíme stacionární bod s. Pokud vyjde nenulové číslo, je v bodě s tzv. inflexní bod (o tom později). Pokud vyjde nulové číslo, derivujeme dále. U čtvrté derivace se rozhodujeme stejně jako u druhé – dosadíme stacionární bod a kladná funkční hodnota znamená, že je tam minimum, záporná že je tam maximum.

Třetí derivace je rovna \(f^{\prime\prime\prime}(x)=24x\), po dosazení máme \(f^{\prime\prime\prime}(0) = 0\), takže derivujeme dále. Čtvrtá derivace má tvar \(f^{\prime\prime\prime\prime}(x)=24\). Vidíme, že čtvrtá derivace už je vždy kladná, z čehož můžeme – stejně jako u druhé derivace – odvodit, že funkce má v bodě s = 0 minimum. A taky že má.

Shrnutí postupu nalezení extrémů funkce #

  1. Máme danou funkci f, která je derivovatelná.
  2. Funkci f zderivujeme.
  3. Vyřešíme rovnici \(f^{\prime}(x)=0\). Všechna s, která jsou řešení rovnice, nazveme stacionární body, neboli body podezřelé z extrému.
  4. Vypočítáme druhou derivaci.
  5. Vypočítáme funkční hodnotu všech stacionárních bodů s. Pokud \(f^{\prime\prime}(s) > 0\), funkce má v bodě s minimum, pokud \(f^{\prime\prime}(s) < 0\), pak je v bodě s maximum. Pokud \(f^{\prime\prime}(s)=0\), pak derivujeme dále.

    Rada: pokud se vám nechce pamatovat, jestli musí být druhá derivace kladná, nebo záporná, aby v místě bylo maximum nebo minimum, jednoduše si to odvoďte třeba z funkce x2. Graf této funkce byste měli znát a první i druhá derivace je jednoduchá: \(f^{\prime}(x)=2x\) a \(f^{\prime\prime}(x)=2\). Druhá derivace je tak vždy kladná a funkce x2 má v bodě x = 0 minimum.

  6. Vypočítáme třetí derivaci. Pokud je \(f^{\prime\prime\prime}(s)\ne0\), pak je v bodě s inflexní bod, v opačném případě derivujeme dále.
  7. Vypočítáme čtvrtou derivaci. Pokud je \(f^{\prime\prime\prime\prime}(s)\ne0\), pak se v bodě nachází extrém. Jinak derivujeme dále.
  8. A tak dále a tak dále. Pokud bude jako první nenulová derivace lichá derivace, jedná se o inflexní bod. Pokud bude nenulová sudá derivace, jedná se o extrém.
 

Tento web používá k poskytování služeb, personalizaci reklam a analýze návštěvnosti soubory cookie. Používáním tohoto webu s tím souhlasíte. Další informace