Euklidovy věty

Starý alexandrijský matematik Eukleidés sestavil dvě věty týkající se trojúhelníků, konkrétně se týkají výšky a odvěsny.

Euklidova věta o výšce

Tato věta funguje pouze na pravoúhlém trojúhelníku. Podívejme na základní zadání:

Základní rozvržení trojúhelníku Základní rozvržení trojúhelníku

Máme zde trojúhelník ABC, strana c je přepona, úsečka vc je výška ke straně c. Bod Pc nám rozděluje stranu c na dvě úsečky: úsečku APc si označíme cb a úsečku BPc si označíme ca.

Euklidova věta o výšce pak říká, že platí vztah

$$ v_c^2 = c_a \cdot c_b, $$

kde vc značí délku úsečky vc atp. Jinými slovy: pokud bychom sestavili čtverec o délce strany vc a obdélník o délkách ca a cb, pak by tyto útvary měly stejný obsah. Podívejte se na následující obrázek, ve kterém je právě takový čtverec a obdélník zvýrazněn:

Trojúhelník s vyznačeným čtvercem a obdélníkem Trojúhelník s vyznačeným čtvercem a obdélníkem

Euklidova věta o výšce říká, že tyto útvary mají stejný obsah. Červený čtverec má délku strany vc, zelený obdélník má délku jedné strany rovnou ca a délka druhé strany je rovná cb.

Důkaz Euklidovy věty o výšce si můžete přečíst na Wikipedii.

Euklidova věta o odvěsně

I tato druhá Euklidova věta platí v pravoúhlém trojúhelníku. Zůstaneme u prvního obrázku trojúhelníku:

Základní rozvržení trojúhelníku Základní rozvržení trojúhelníku

Druhá věta pak tvrdí, že

$$\begin{eqnarray} a^2 &=& c \cdot c_a\\ b^2 &=& c \cdot c_b\\ \end{eqnarray}$$

Pokud sestrojíme čtverec o velikosti strany a, pak tento čtverec bude mít stejný obsah jako obdélník o délkách stran c a ca. Opět si můžete čtverec a obdélník prohlédnout:

Znázornění Euklidovy věty o odvěsně Znázornění Euklidovy věty o odvěsně

Důkaz můžete opět nalézt na Wikipedii.