PRUMYSL.CZ KONSTRUKTER.CZ 3D-TISK.CZ MATEMATIKA.CZ NOVAMEDIA.CZ

Elipsa

Zobrazit kapitoly článku
  1. Kuželosečky
  2. Elipsa
  3. Hyperbola
  4. Parabola

Elipsa je kuželosečka. Základní vlastností elipsy je, že každý bod elipsy má od daných dvou bodů v rovině stejný součet vzdáleností. Těmto bodům se říká ohniska.

Jak vypadá elipsa #

Mějme dány dva body – E a F, ohniska elipsy e. Pak pro každý bod X elipsy e musí platit, že

\[|XE|+|XF|=K,\]

kde K je nějaké konstantní číslo. Toto číslo je tak pro všechny body elipsy stejné. V případě, že E = F, dostáváme kružnici a platí, že |XE|+|XF| se rovná průměru kružnice (neboli |XE| musí být poloměr kružnice). Obrázek elipsy:

Elipsa s ohnisky E a FElipsa s ohnisky E a F

Stejný součet vzdáleností od ohnisek pak znamená, že součet |EK|+|FK| musí být stejný jako součet |EL|+|FL| a stejně tak pro všechny ostatní body, které jsou na elipse.

Popis a vlastnosti elipsy #

  • Elipsa má dvě ohniska, označme je E a F.
  • Elipsa obsahuje dva hlavní vrcholy, A a B a dva vedlejší vrcholy, C a D.
  • Střed elipsy, na obrázku vrchol S, leží ve středu úsečky EF, tedy mezi ohnisky.
  • Přímka, která prochází hlavními vrcholy (a také ohnisky), se nazývá hlavní osa elipsy, přímka která prochází vedlejšími vrcholy se nazývá vedlejší osa elipsy.
  • Úsečka, která spojuje libovolný hlavní bod a střed elipsy, se nazývá hlavní poloosa. Na obrázku se jedná o úsečky AS a BS.
  • Úsečka, která spojuje libovolný vedlejší bod a střed elipsy, se nazývá vedlejší poloosa. Na obrázku se jedná o úsečky CS a DS.
  • Konstanta K, která je rovna součtu délek spojnic bodu elipsy s ohnisky, je rovna délce úsečky AB. To je hezky vidět, pokud chceme vypočítat součet pro bod B. Pro bod platí, že součet má tvar: |FB|+|EB|. Úsečka EB nám pokryje téměř celou úsečku AB a zbylá část, úsečka AE je stejně dlouhá jako úsečka FB. Proto |FB|+|EB| = |AB|.

Excentricita elipsy #

Další důležitou konstantou v elipse je excentricita, značíme e, neboli výstřednost. Excentricita je rovna vzdálenosti ohnisek od středu elipsy, tedy e = |ES| = |FS|. Jak můžeme excentricity vypočítat? Nejdříve zjistíme, čemu je rovna vzdálenost |ED| a |FD|.

Čemu je rovna vzdálenost |ED|?Čemu je rovna vzdálenost |ED|?

Víme, že součet K je roven délce |AB|. Přitom je z obrázku patrné, že úsečky ED a FE budou stejně dlouhé, protože přímka CD je osou elipsy. Délka obou úseček tak bude rovna polovině délky |AB|, což je délka hlavní poloosy elipsy. Pokud označíme délku hlavní poloosy jako a a délku vedlejší poloosy jako b, dostaneme obrázek:

Elipsa s vyznačenou excentricitou (zeleně)Elipsa s vyznačenou excentricitou (zeleně)

Excentricitu už pak můžeme vyjádřit pomocí Pythagorovy věty jako

\[e=\sqrt{a^2-b^2}\]

Čím je elipsa více podobná kružnici, tj. čím méně zploštělá je, tím menší má excentricitu.

Rovnice elipsy #

Jakým způsobem odvodíme rovnici elipsy? Jako první potřebujeme nějakou hezkou elipsu, takže zvolíme elipsu, jejíž hlavní a vedlejší osa jsou rovnoběžné s osami x a y a střed elipsy se nachází v počátku souřadnicového systému, tj. má souřadnice [0, 0]. Taková elipsa vypadá například takto:

Elipsa se středem v počátku souřadnicového systémuElipsa se středem v počátku souřadnicového systému

Otázkou zní, jak obecně vyjádřit bod X, který je na obrázku vyznačen modrou barvou. Víme, že z definice elipsy musí platit:

\[|EX|+|FX|=|AB|\]

Protože délka úsečky AB je rovná dvojnásobku délky hlavní poloosy a, můžeme napsat:

\[|EX|+|FX|=2a\]

Dále musíme nějak vyjádřit délku úseček EX a FX. Začneme s úsečkou FX. Dokreslíme do obrázku další dvě úsečky tak, aby nám vznikl pravoúhlý trojúhelník.

Elipsa s vyznačeným pravoúhlým trojúhelníkemElipsa s vyznačeným pravoúhlým trojúhelníkem

Bod X má souřadnice [x, y], takže délku úsečky PX je rovna y-ové souřadnici bodu X, tedy |PX| = y. Délka PF je rovna |ex|. Podle Pythagorovy věty pak musí platit:

\[|FX|=\sqrt{|e-x|^2+y^2}=\sqrt{(x-e)^2+y^2}\]

Podobně, jako jsme vyjádřili |FX| vyjádříme i |EX|. Délka PX bude stejná, opět y a délka PE se bude rovnat x + e. Dostáváme:

\[|EX|=\sqrt{(x+e)^2+y^2}\]

Tyto nové výrazy dosadíme do předchozí rovnice:

\[\sqrt{(x+e)^2+y^2}+\sqrt{(x-e)^2+y^2}=2a\]

Teď by následovala velká hromada úprav, až byste nakonec dostali tento hezký tvar:

\[\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\]

Tato rovnice nicméně počítá s elipsou o středu v počátku. Abychom získali obecnější rovnici, musíme do rovnice započítat i souřadnice středu elipsy. Elipsa o středu v bodě [m, n] má rovnici:

Pokud je hlavní osa rovnoběžná s osou x:

\[\frac{(x-m)^2}{a^2}+\frac{(y-n)^2}{b^2}=1\]

Pokud je hlavní osa rovnoběžná s osou y:

\[\frac{(x-m)^2}{b^2}+\frac{(y-n)^2}{a^2}=1\]

Příklad: abyste věřili, že rovnice skutečně funguje, zkusíme si do ní dosadit bod X z obrázku. Pro obrázek platí a = 5, b = 4 a X = [2, 31; 3, 55] (souřadnice bodu jsou zaokrouhlené, výsledek nakonec také musíme zaokrouhlit). Dosazením do levé části rovnice získáme:

\[\frac{2,31^2}{5^2}+\frac{3,55^2}{4^2}=\frac{5,3361}{25}+\frac{12,6025}{16}=0,213444+0,78765625\approx1\]

Získali jsme tak rovnost 1 = 1.

 

Tento web používá k poskytování služeb, personalizaci reklam a analýze návštěvnosti soubory cookie. Používáním tohoto webu s tím souhlasíte. Další informace