Determinanty

V lineární algebře je determinant zobrazení, které přiřadí každé čtvercové matici A skalár, který označujeme |A|. V případě číselných matic je determinant rovný nějakému reálnému číslu.

Permutace entice #

Abychom mohli nadefinovat determinant, budeme muset vědět, jak vypočítat permutaci entice, respektive zmanénko permutace. Nejlépe to vysvětlím na příkladu. Mějme uspořádanou trojici \(\left<1, 2, 3\right>\), která se zobrazuje na trojici \(\left<2, 3, 1\right>\). Obvykle to v případě permutací přepisujeme takto:

\[\begin{pmatrix}1&2&3\\2&3&1\end{pmatrix}\]

Nyní musíme zjistit, kolik různých prohození čísel jsme museli použít, abychom z první množiny dostali druhou množinu. Přičemž prohazovat smíme pouze čísla vedle sebe. Takže máme trojici \(\left<1, 2, 3\right>\). Nyní prohodíme jedničku s dvojkou: \(\left<2, 1, 3\right>\). Teď prohodíme jedničku s trojkou: \(\left<2, 3, 1\right>\), čímž už získáme hledanou permutaci. K získání obrazu jsme potřebovali dvě prohození. Znaménko permutace zjistíme jednoduše – pokud je počet prohozů sudý, je znaménko kladné. Pokud je počet lichý, je znaménko záporné. V našem případě se tudíž jedná o kladné znaménko permutace. Zkusíme ještě určit znaménko permutace u tohoto příkladu:

\[\begin{pmatrix}4&2&3&1\\1&3&4&2\end{pmatrix}\]

Budeme postupovat následovně:

\[\left<4, 2, 3, 1\right> \rightarrow \left<4, 2, 1, 3\right> \rightarrow \left<4, 1, 2, 3\right> \rightarrow \left<1, 4, 2, 3\right> \rightarrow \left<1, 4, 3, 2\right> \rightarrow \left<1, 3, 4, 2\right>\]

Úprava je hotová. Potřebovali jsme celkem pět úprav, takže jsme tentokrát získali permutaci s lichým znaménkem.

Permutaci označujeme pomocí Levi-Civitova symbolu:

\[\epsilon_{i_1,…,i_n}=\begin{cases}+1 & \mbox{pokud }(i_1, i_2, …, i_n) \mbox{ je sudá permutace } (1,2,3,4,…, n) \\-1 & \mbox{pokud }(i_1, i_2, …, i_n) \mbox{ je lichá permutace } (1,2,3,4,…, n) \\0 & \mbox{jinak}\end{cases}\]

Definice determinantu #

Determinant je číslo; je definovaný pouze na čtvercových maticích a je zapisován buď jako det A nebo |A|. Toto číslo je definované takto:

\[|A|=\sum_{i_1,\ldots,i_n}^n\epsilon_{i_1,\ldots,i_n}a_{1i_1}\cdot a_{2i_2}\cdot \ldots \cdot a_{ni_n}\]

Zkusíme si vypočítat determinant čtvercové matice řádu \(2\times2\):

\[A=\begin{pmatrix}4&2\\1&3\end{pmatrix}\]

Pokud si do definice dosadíme konkrétní hodnotu n = 2, získáme tento vzorec:

\[|A|=\sum_{i_1, i_2}^2=\epsilon_{i_1, i_2} \cdot a_{1i_1}\cdot a_{2i_2}\]

Za hodnoty i1 a i2 postupně dosadíme hodnoty 1 a 2. Dostaneme tak celkem čtyři možnosti: a) i1 = 1, i2 = 1, b) i1 = 1, i2 = 2, c) i1 = 2, i2 = 1, d) i1 = 2, i2 = 2.

V případě možnostech a) a d) dostáváme nulovou permutaci, protože ε1, 1 = 0 a ε2, 2 = 0. V sumě ve vzorci tak v tomto kroku dostaneme nulu, protože 0 · a1i1 · a2i2 = 0.

Zbývají možnosti b) a c). V případě b) i1 = 1, i2 = 2 máme: e1, 2 = 1, protože \(\left<1, 2\right>\) je sudá permutace \(\left<1, 2\right>\). Dostáváme první sčítanec:

\[1\cdot a_{1i_1}\cdot a_{2i_2} = 1\cdot a_{11}\cdot a_{22}=4\cdot3=12\]

Ve zbývajícím případě máme i1 = 2, i2 = 1. Hodnota ε21 je rovná −1. Dostáváme druhý sčítanec:

\[-1\cdot a_{1i_1}\cdot a_{2i_2} = 1\cdot a_{12}\cdot a_{21}=-1\cdot2\cdot1=-2\]

Nyní sečteme všechny čtyři případy a) + b) + c) + d) a dostaneme

\[|A|=0+12-2+0=10.\]

Determinant matice A je rovný deseti.

Můžeme si všimnout, že jsme nakonec determinant matice spočítali jako rozdíl

\[|A|=a_{11} \cdot a_{22} - a_{12}\cdot a_{21}\]

Tento vzorec platí obecně na jakoukoliv matici řádu \(2\times2\).

Sarrusovo pravidlo #

Pomocí Sarrusova pravidla počítáme determinant matice třetího řádu. Tento determinant už je trochu složitější. Tak jdeme počítat, třeba tuhle matici:

\[A=\begin{pmatrix}5&3&2\\1&7&-8\\0&-2&7\end{pmatrix}\]

Nyní budeme postupovat podobně jako u matice druhého řádu, ale pro přehlednosti si tuto matici rozšíříme ještě o další dva řádky – pod tuto matici opíšeme první dva řádky matice:

\[A’=\begin{pmatrix}5&3&2\\1&7&-8\\0&-2&7\\5&3&2\\1&7&-8\end{pmatrix}\]

První a čtvrtý řádek matice tak jsou stejné, stejně tak druhý a pátý. Teď budeme postupovat tak, že sečteme násobky prvků na hlavních diagonálách a odečteme od nich součet násobků vedlejších diagonálách. Po dosazení dostaneme:

\[|A|=[5 \cdot 7 \cdot 7 + 1 \cdot (-2) \cdot 2 + 0 \cdot 3 \cdot (-8)] - [2 \cdot 7 \cdot 0 + (-8) \cdot (-2) \cdot 5 + 7 \cdot 3 \cdot 1]=140\]

Vlastnosti determinantu #

  • Vynásobíme-li řádek nebo sloupec matice A číslem c ≠ 0, získáme matici A a pro jejich determinanty bude platit: c | A| = |A’|. Tedy pokud vynásobíte řádek matice třemi a spočítáte determinant, pak determinant původní matice získáte tak, že současný výsledek vydělíte třemi.

  • Vynásobením i-tého řádku a přičtením k j-tému řádku se determinant matice nezmění. Opět totéž pro sloupce.

  • Je-li alespoň jeden řádek matice nulový, determinant matice bude nula.
  • Regulární matice bude mít vždy determinant různý od nuly a singulární matice bude mít vždy determinant rovný nule.
  • Determinant matice ve schodovitém tvaru je rovný součinu prvků na hlavní diagonále.
  • Prohodíme-li dva řádky matice, změní se znaménko determinantu.
  • |A| = |AT|
  • |A · B| = |A| · |B|
  • |A−1| = 1/|A|

Z předchozích vlastností vyplývá poměrně jednoduchý postup, jak determinant vypočítat. Stačí upravit matici do schodovitého tvaru a poté vynásobit prvky na hlavní diagonále. Jdeme na to:

\[A=\begin{pmatrix}1&3&8\\2&5&0\\-2&2&5\end{pmatrix}\]

Standardními maticovými úpravy nyní upravíme matici na schodovitý tvar:

\[\begin{pmatrix}1&3&8\\2&5&0\\-2&2&5\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}1&3&8\\0&-1&-16\\0&8&21\end{pmatrix}\sim\begin{pmatrix}1&3&8\\0&-1&-16\\0&0&-107\end{pmatrix}\]

Teď uděláme součin prvků na diagonále: 1 · (−1) · (−107) = 107.

Vypočtěte determinant této matice:

\[A=\begin{pmatrix}3&2&1&5\\2&7&5&6\\6&4&1&0\\4&-3&1&1\end{pmatrix}\]

Jako první bude vhodné prohodit první a druhý řádek, abychom dostali nejmenší číslo nahoru. Nesmíme ovšem zapomenout změnit znaménko:

\[\left|\begin{matrix}3&2&1&5\\2&7&5&6\\6&4&1&0\\4&-3&1&1\end{matrix}\right| = -\left|\begin{matrix}2&7&5&6\\3&2&1&5\\6&4&1&0\\4&-3&1&1\end{matrix}\right|\]

Dále bude dosti šikovné vynásobit druhý řádek dvojkou, ať můžeme hezky sčítat. Celý determinant nesmíme zapomenout vynásobit jednou polovinou:

\[-\left|\begin{matrix}2&7&5&6\\3&2&1&5\\6&4&1&0\\4&-3&1&1\end{matrix}\right| = -\frac12 \left|\begin{matrix}2&7&5&6\\6&4&2&10\\6&4&1&0\\4&-3&1&1\end{matrix}\right|\]

A teď už budeme postupovat klasicky:

\[\begin{eqnarray}-\frac12 \left|\begin{matrix}2&7&5&6\\6&4&2&10\\6&4&1&0\\4&-3&1&1\end{matrix}\right| &=& -\frac12 \left| \begin{matrix}2&7&5&6\\0&-17&-13&-8\\0&-17&-14&-18\\0&-17&-9&-11\end{matrix}\right| \\&=& -\frac12 \left| \begin{matrix}2&7&5&6\\0&-17&-13&-8\\0&0&-1&-10\\0&0&4&-3\end{matrix}\right|\\&=& -\frac12 \left|\begin{matrix}2&7&5&6\\0&-17&-13&-8\\0&0&-1&-10\\0&0&0&-43\end{matrix}\right|\\&=& -\frac12 \cdot 2 \cdot (-17) \cdot (-1) \cdot (-43) = 731\end{eqnarray}\]

Laplaceův rozvoj #

Laplace byl jeden hodný pán, který nám vymyslel další algoritmus, jak počítat determinanty matice. K pochopení této kuchařky budeme muset umět vypočítat speciální submatici původní matice. Máme danou matici A a potřebujeme vytvořit submatici, která vznikne tak, že z matice A odstraníme jeden řádek a jeden sloupec. Tuto novou matici označíme SAij, což nám říká, že jsme z matice A odstranili i-tý řádek a j-tý sloupec. Příklad:

\[A=\begin{pmatrix}1&3&8\\2&5&0\\-2&2&5\end{pmatrix}\]

Submatice SA12 by měla tento tvar:

\[S^A_{12}=\begin{pmatrix}2&0\\-2&5\end{pmatrix}\]

Dále definujeme pojem minor, což není nic jiného, než determinant námi definované submatice SAij. Minor označíme stejně, jen s písmenem M, tedy MAij = |SAij|. Můžeme uvažovat i minor prvku aij, což je právě MAij.

Pomocí těchto minorů můžeme spočítat determinant původní matice. V prvním kroku si vybereme řádek (nebo sloupec) matice. Pak pro každý prvek tohoto řádku spočítáme jeho minor. Dostaneme tak tolik minorů, kolik má řádek prvků. Nyní můžeme vyjádřit determinant původní matice A typu \(n \times n\) jako vážený součet těchto minorů:

\[|A|=\sum_{j=1}^n (-1)^{i+j} \cdot a_{ij} \cdot M^A_{ij}\]

kde i je námi zvolený řádek. Pokud budeme iterovat přes proměnnou i, budeme si pevně volit proměnnou j – index sloupce.

V praxi to vypadá tak, že máte matici a chcete znát determinant. Vemete tedy jeden sloupec matice (nebo řádek) a ke každému prvku v tomto sloupci určíte minor a přiřadíte znaménko (−1)i + j a vše sečtete, přičemž každý deteminant vynásobíte prvkem, jehož minorem ta matice je. Díky tomu, že minor MAij ještě násobíme prvkem aij, je vhodné, pokud je tento prvek nula. Pak totiž odpadne další počítání a ušetříte si práci. Zkusíme si spočítat determinant této matice:

\[A=\begin{pmatrix}5&4&8\\6&1&0\\2&3&9\end{pmatrix}\]

V matici se nachází jediná nula, takže ideálně rozvoj provedeme buď přes druhý řádek nebo přes třetí sloupec. Zvolíme například řádek. V prvním kroku extrahujeme submatice:

\[\begin{eqnarray}S^A_{21}&=&\begin{pmatrix}4&8\\3&9\end{pmatrix}\\S^A_{22}&=&\begin{pmatrix}5&8\\2&9\end{pmatrix}\\S^A_{23}&=&\begin{pmatrix}5&4\\2&3\end{pmatrix}\\\end{eqnarray}\]

Nyní spočítáme determinanty, čímž dostaneme minory. Pro matici druhého řádu je to triviální.

\[\begin{eqnarray}M^A_{21}&=&\left|\begin{matrix}4&8\\3&9\end{matrix}\right|=12\\M^A_{22}&=&\left|\begin{matrix}5&8\\2&9\end{matrix}\right|=29\\M^A_{23}&=&\left|\begin{matrix}5&4\\2&3\end{matrix}\right|=7\\\end{eqnarray}\]

Teď už to můžeme dosadit do vzorce, i = 2:

\[\begin{eqnarray}|A|&=&(-1)^{2+1} \cdot 6 \cdot \left|\begin{matrix}4&8\\3&9\end{matrix}\right| + (-1)^{2+2}\cdot1\cdot\left|\begin{matrix}5&8\\2&9\end{matrix}\right|+(-1)^{2+3}\cdot\left|\begin{matrix}5&4\\2&3\end{matrix}\right|\cdot0\\&=&(-1)^{2+1} \cdot 6 \cdot 12 + (-1)^{2+2}\cdot1\cdot29+(-1)^{2+3}\cdot7\cdot0=-43\end{eqnarray}\]

Všimněte si, že díky tomu, že prvek na konci druhého řádku je nulový, se nám třetí sčítanec také rovnal nule. Další příklad:

Vypočtěte determinant této matice pomocí Laplaceovy metody:

\[A=\begin{pmatrix}7&2&3&2\\6&6&6&7\\8&10&9&10\\5&7&3&3\end{pmatrix}\]

Ve třetím sloupečku máme samé násobky trojky, toho můžeme využít a vynulovat tento sloupec, abychom si připravili půdu pro pozdější aplikaci Laplaceovy metody. K druhému řádku tak přičteme −2 násobek prvního řádku, ke třetímu přičteme −3 násobek prvního řádku a ke čtvrtému −1 násobek.

\[\begin{pmatrix}7&2&3&2\\6&6&6&7\\8&10&9&10\\5&7&3&3\end{pmatrix}\sim\begin{pmatrix}7&2&3&2\\-8&2&0&3\\-13&4&0&4\\-2&5&0&1\end{pmatrix}\]

Tím jsme nezměnili hodnotu determinantu, ale bude se nám lépe počítat. Provedeme rozvoj podle třetího sloupce, kde máme pouze jeden nenulový prvek, takže nám v rozvoji zůstane jen minor třetího prvku prvního řádku:

\[\left|\begin{matrix}7&2&3&2\\6&6&6&7\\8&10&9&10\\5&7&3&3\end{matrix}\right|=(-1)^{1+3}\cdot3\left|\begin{matrix}-8&2&3\\-13&4&4\\-2&5&1\end{matrix}\right|=3\left|\begin{matrix}-8&2&3\\-13&4&4\\-2&5&1\end{matrix}\right|\]

Ve třetím sloupečku nové matice vidíme na samém konci jedničku, čehož můžeme snadno využít a vynulujeme tento sloupec:

\[\begin{pmatrix}-8&2&3\\-13&4&4\\-2&5&1\end{pmatrix}\sim\begin{pmatrix}-2&-13&0\\-5&-16&0\\-2&5&1\end{pmatrix}\]

Nyní uděláme rozvoj podle třetího sloupce. Opět je tam jen jeden nenulový prvek:

\[3\left|\begin{matrix}-2&-13&0\\-5&-16&0\\-2&5&1\end{matrix}\right|=3\cdot\left((-1)^{3+3}\cdot1\cdot\left|\begin{matrix}-2&-13\\-5&-16\end{matrix}\right|\right)=3\cdot\left|\begin{matrix}-2&-13\\-5&-16\end{matrix}\right|\]

A toto už můžeme vypočítat klasicky: 3 · (32 − 65) = −99.