PRUMYSL.CZ KONSTRUKTER.CZ 3D-TISK.CZ MATEMATIKA.CZ NOVAMEDIA.CZ

Cramerovo pravidlo

Zobrazit kapitoly článku
  1. Systémy rovnic
  2. Cramerovo pravidlo
  3. Homogenní systémy

Cramerovo pravidlo se používá pro řešení systému lineárních rovnic, kde matice systému je regulární.

Cramerovský systém #

Mějme systém lineárních rovnic Ax = b. Tento systém nazveme cramerovský, pokud je A čtvercová regulární matice. To znamená, že determinant této matice je vždy nenulový a matice tak nemá žádné lineárně závislé řádky nebo sloupce.

Podle Frobeniovy věty má každý cramerovský systém právě jedno řešení. Frobeniova věta říká, že pokud rank(A) = rank(A | b) = k, pak má systém řešení. Matice A cramerovského systému je čtvercová a má maximální možnou hodnost. To znamená, že pokud k této matici přidáme jakýkoliv další sloupec, tak tento sloupec musí být nutně lineární kombinací sloupců matice A. Takže přidáním sloupce z matice b nezvýšíme hodnost matice A.

Frobeniova věta také říká, že na vyjádření řešení potřebujeme n − k parametrů, kde n je počet proměnných a k je hodnost matice rank(A | b). U cramerovského systému bude platit n = k a tak na vyjádření řešení budeme potřebovat nula parametrů. Proto má každý cramerovský systém právě jedno řešení.

Dále označme Ai upravenou matici A tak, že na místo i-tého sloupce má sloupec b. Formálně matici Ai definujeme takto:

\[A_i=\begin{pmatrix}a_{1,1}&…&a_{1,i-1}&b_1&a_{1,i+1}&…&a_{1,n}\\a_{2,1}&…&a_{2,i-1}&b_2&a_{2,i+1}&…&a_{2,n}\\\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\a_{n,1}&…&a_{n,i-1}&b_n&a_{n,i+1}&…&a_{n,n}\\\end{pmatrix}\]

kde aij jsou prvky matice A a bi prvky matice b.

Cramerovo pravidlo #

Nechť Ax = b je cramerovský systém lineárních rovnic. Cramerovo pravidlo říká, že tento systém má právě jedno řešení (x1, x2, …, xn), kde

\[x_i=\frac{\mbox{det }A_i}{\mbox{det } A}=\frac{|A_i|}{|A|}.\]

Pravidlo si hned ukážeme na malém příkladu. Vyřešíme následující systém pomocí Cramerova pravidla.

\[\begin{array}{ccccccccc}x_1&+&2x_2&=&5\\4x_1&+&3x_2&=&15&\end{array}\]

Matice systému bude mít tvar:

\[A=\begin{pmatrix}1&2\\4&3\end{pmatrix}\]

Determinant matice je rovný:

\[|A| = 3 - 8 = -5.\]

Dále si vytvoříme matice A1 a A2. Ty budou mít tvar:

\[A_1=\begin{pmatrix}5&2\\15&3\end{pmatrix},\qquad A_2=\begin{pmatrix}1&5\\4&15\end{pmatrix}\]

Vypočítáme determinanty těchto matic:

\[\begin{eqnarray}|A_1|&=&5\cdot3-15\cdot2=-15\\|A_2|&=&1\cdot15-4\cdot5=-5\end{eqnarray}\]

A postupně vypočítáme x1 a x2. Podle Cramerova pravidla bude pro prvek x1 platit rovnost

\[x_1=\frac{|A_1|}{|A|}\]

Po dosazení tak máme

\[x_1=\frac{-15}{-5}=3\]

Totéž pro druhý prvek x2:

\[x_2=\frac{|A_2|}{|A|}=\frac{-5}{-5}=1\]

Řešením systému rovnic tak je dvojice (x1, x2) = (3, 1).

Cramerovo pravidlo je vhodné především v případě, kdy chcete postup algoritmizovat, snadno se programuje. Řešit soustavu pomocí Cramerova pravidla ručně bývá obvykle složitější, než ji řešit Gaussovou eliminační metodou.

Odkazy a zdroje #

 

Tento web používá k poskytování služeb, personalizaci reklam a analýze návštěvnosti soubory cookie. Používáním tohoto webu s tím souhlasíte. Další informace